Проверка предпосылок использования метода наименьших квадратов для построения множественной модели

Модель берем линейную.

Шаг 1. Случайный характер остатков.

Для построения диаграммы зависимости ε = ε() выберем:

Анализ → Множественная регрессия

В окне Результаты множественной регрессии выберем закладку Анализ остатков, затем закладку Диаграммы рассеяния, в которой выбираем Предсказанные и Остатки.

В результате получим диаграмму:

Рисунок 6.1 – Зависимость остатков и теоретических значений

Анализ диаграммы показывает, что зависимость содержит тенденцию: некоторые точки располагаются очень далеко от оси абсцисс. Первая предпосылка использования метода наименьших квадратов не выполняется.

Шаг 2. Нулевая средняя величина остатков.

Для определения среднего значения остатков в окне Анализ остатков выберем закладку Быстрый и кнопку Предсказанные значения и остатки. В результате получим таблицу, содержащую расчет основных показателей по остаткам:

Рисунок 6.2 – Таблица с показателями по остаткам

Среднее значение по остаткам равно 0 с точностью до пятого знака после запятой. Вторая предпосылка использования метода наименьших квадратов выполняется.

Шаг 3. Гомоскедастичность остатков.

Выполним построение зависимостей ε = ε(x_i), где i – номер фактора. Для этого в диалоговом окне Анализ остатков выберем закладку Остатки, в которой нажмем кнопку Остатки и независимые переменные и затем выберем переменную для построения. Получим диаграммы:

Рисунок 6.3 – Диаграмма рассеяния для зависимости ε = ε(x₁)

На диаграмме видно, что некоторые точки очень удалены от оси абсцисс.

Рисунок 6.4 – Диаграмма рассеяния для зависимости ε = ε(x₂)

Все коэффициенты регрессий имеют порядок ≈ 10^–3÷10^–5 и значение коэффициента парной корреляции для остатков и выбранной переменной ≈ 10^–7. Поэтому линия подгонки является горизонтальной прямой, совпадающей с осью абсцисс для всех диаграмм. Третья предпосылка использования метода наименьших квадратов выполняется.

Шаг 4. Отсутствие автокорреляции в остатках.

Отсутствие автокорреляции остатков определяем по значению сериального коэффициента корреляции остатков и статистике Дарбина-Уотсона. На закладке Дополнительно окна Анализ остатков следует выбрать кнопку Статистика Дарбина-Уотсона. В результате получим таблицу, содержащую значения статистики и значение коэффициента:

Рисунок 6.7 – Таблица со значениями статистики Дарбина-Уотсона

Выдвинем гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках.

Так как выполнено неравенство –1,96 < h < 1,96, где h = 0,65312 – значение статистики Дарбина-Уотсона, то нет основания отклонить гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках. 4-я предпосылка использования метода наименьших квадратов выполняется.

Шаг 5. Нормальный закон распределения остатков.

Построение гистограммы для распределения остатков может быть выполнено с помощью двух инструментов:

1) На закладке Остатки окна Анализ остатков выбирается кнопка Гистограмма остатков.

2) в главном меню используется пункт Графики и подпункт Гистограмма, закладка Дополнительно.

При использовании первого инструмента получим гистограмму с параметрами по умолчанию (количество классов и размер класса) и без вывода на экран количественных характеристик распределения.

Рисунок 6.8 – Гистограмма распределения остатков, построенная с параметрами по умолчанию.

2) Перед использованием второго инструмента нужно значения остатков скопировать в окно исходных данных и после запуска диалога для построения гистограммы определить параметры. (рис. ниже).

Одним из параметров является количество классов, определяемое по формуле Штюргерса:

k = [1+3,32·lg n] = [1+3,32·lg 206] = [1+3,32·2,314] = 9,

где n – количество наблюдений.

Для n=204 возьмем k = 9

Далее в главном меню используется пункт Графики и подпункт Гистограмма, закладка Дополнительно. Выберем переменную остатки», нормальное распределение, включим флажки «Проценты», «Критерий Колм.-См., выберем число категорий 9.

В результате получим гистограмму: