ВПР.11 Проверка статистических гипотез о равенстве дисперсии и средних

Постановка задачи

Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности, которое можно проверить по выборке. Как правило, статистические гипотезы делят на гипотезы о законах распределения и гипотезы о параметрах распределения.

Пусть - закон распределения случайной величины Х, зависящий от одного параметра . Предположим, что наша гипотеза состоит в утверждении, что . Назовем эту гипотезу нулевой и обозначим ее H ₀. Альтернативной, или конкурирующей гипотезой, которую обозначим H ₁, будет . Перед нами стоит задача проверки гипотезы Н ₀ относительно конкурирующей гипотезы Н ₁ на основании выборки, состоящей из n независимых наблюдений X ₁, X ₂, …, X_n. Следовательно, все возможное множество выборок объема n можно разделить на два непересекающихся подмножества (О и W) таких, что проверяемая гипотеза Н0 должна быть отвергнута, если наблюдаемая выборка попадает в подмножество W и принята, если выборка принадлежит подмножеству О.

Подмножество О называют областью допустимых значений, а подмножество W – критической областью. При формировании критической области возможны ошибки

Ошибка первого рода состоит в том, нулевая гипотеза отвергается, то есть принимается гипотеза Н ₁, в то время как в действительности верна гипотеза Н ₀.

Ошибка второго рода состоит в том, что принимается гипотеза Н ₀, а в действительности верна гипотеза Н ₁.

Для любой заданной критической области будем обозначать через вероятность ошибки первого рода, а через - вероятность ошибки второго рода. Следовательно, можно сказать, что при большом количестве выборок доля ложных заключений равна , если верна гипотеза H ₀, и , если верна гипотеза H ₁. При фиксированном объеме выборки выбор критической области W позволяет сделать как угодно малой либо , либо .