Ряд Фурье

Определение. Коэффициентами Фурье функции называются числа и , определяемые формулами

, . (36)

Ряд

(37)

называется рядом Фурье функции .

В случае разложения в ряд Фурье функции, заданной в интервале , где - произвольное число, формулы (36) и (37) принимают вид:

, . (38)

. (39)

Пример 19. Разложить в ряд Фурье функцию на отрезке .

Решение.

По формулам (38) найдем:

Подставим найденные значения коэффициентов ряда Фурье в формулу (38):

.

_________________________________________

Решение 0-варианта

(часть2)

1. Вычислить неопределенные интегралы:

а)

б)

;

в) . Используем формулу интегрирования по частям: , где , ; , . Т.о.:

;

г) . Перемножаем скобки в знаменателе и делим числитель на знаменатель:

Найдем дискриминант выражения : . Т.о., уравнение не имеет вещественных корней и интеграл запишется в виде:

.

Первый интеграл решается легко. Во втором интеграле (обозначим его ) по формуле (7) проводим разложение подынтегральной функции на простые дроби:

.

Приводим к общему знаменателю правую часть равенства и приравниваем числители в обеих частях равенства:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа:

, , , .

в числи­теле 2 – го интеграла формируем дифференциал знаменателя:

знаме­натель последнего интеграла приводим к полному квадрату: . Т.о., последний интеграл выражается через арктангенс. Окончательно получим:

.