Определение. СВНТ Х имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами и , если плотность вероятности имеет вид
, .
Замечание. Это распределение зависит от двух параметров – m и s, поэтому пишут .
Методами математического анализа можно легко построить график плотности вероятности (кривой Гаусса) (рис. 2.1.16):
Легко установить влияние параметров m и на вид кривой . Изменение m равносильно сдвигу кривой вдоль оси Ox. Причем в точке имеется единственный максимум функции , равный . Изменение равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям (например, при удвоении масштаб по оси Ox удвоится, а по оси Oy – уменьшится в два раза, при этом площадь под графиком всегда равна единице) (рис. 2.1.17).
Общим называется нормальное распределение с параметрами m и s. Если случайная величина , то она называется стандартизованной нормальной случайной величиной. Ее плотность:
.
Эта функция табулирована только для , поскольку является четной, т.е. .
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение равны:
|
|
, , .
Таким образом, смысл параметров m и случайной величины следующий:
.
Замечание. Поскольку график функции плотности случайной величины симметричен относительно прямой , то ответ можно было получить сразу. Кроме того, мода и медиана случайной величины совпадают с ее математическим ожиданием и равны m.
Функция распределения стандартизованной нормальной случайной величины имеет вид:
.
Она часто называется функцией нормального распределения и также табулирована для , поскольку
.
Кроме того, в этой таблице приведены значения функции лишь для . Это обусловлено тем, что при значения функции практически не отличается от единицы. Поэтому при решении задач можно считать, что для .
Функция распределения для случайной величины связана функцией нормального распределения при помощи формулы:
.
Поэтому очевидно, что
.
Пример 2.1.41. Дана случайная величина . Найти .
Решение.
.
Ответ: .
Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного положительного числа e, т.е. требуется найти вероятность . Задача решается так:
.
Случайная величина с большой вероятностью принимает значения, близкие к своему математическому ожиданию, что описывается «правилом k сигм»:
Пример 2.1.42. Рост взрослого мужчины удовлетворительно описывается нормальным законом распределения. По статистике средний рост составляет 180 см, а среднеквадратическое отклонение равно 7 см. Найти вероятность того, что рост наугад взятого мужчины будет отличаться от среднего роста менее чем на 7 см.
|
|
Решение. Обозначим рост наугад взятого взрослого мужчины через X. По условию задачи . Требуется найти . Тогда
.
Ответ: .
Пример 2.1.43. Случайная величина X имеет плотность вероятности
.
Какова вероятность того, что X попадет в интервал ? Чему равен второй начальный момент этой случайной величины?
Решение. Согласно условию задачи случайная величина имеет нормальное распределение . Тогда
.
Поскольку , то можно считать, что . Поэтому
.
Для нахождения второго начального момента случайной величины необходимо воспользоваться соотношением . По условию задачи , . Отсюда
.
Ответ: , .
Пример 2.1.44. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Если стандартная длина детали 40 см и среднее квадратическое отклонение равно 0,4 см, то какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,8?
Решение. По условию задачи случайная величина X – длина изготавливаемой детали – имеет нормальное распределение . Требуется найти положительное число , для которого . Поскольку , то задача сводится к решению неравенства . По таблице квантилей нормального распределения находим: , или . Таким образом, наименьшее значение равно 0,5128 см.
Ответ: см.
Пример 2.1.45. Пусть X – случайная величина, подчиненная нормальному закону . Какова вероятность того, что при четырех испытаниях эта случайная величина хотя бы один раз попадет в интервал ?
Решение. Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал при одном испытании:
.
Тогда вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал при одном испытании, равна , а при четырех испытаниях . Значит, искомая вероятность составляет .
Ответ: .
Оценка отклонения распределения от нормального;