Точечная оценка дает приближенное значение параметра, однако в ряде задач требуется более строгое решение, а именно, желательно знать, что ошибка полученной оценки не выйдет за определенные пределы. Это особенно важно при малом числе наблюдений.
Пусть для параметра получена несмещенная оценка . Зададим некоторую, достаточно большую вероятность (0.9, 0.95, 0.99) и найдем число из условия: или .
Это означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра попадет в интервал .
Замечание. Подчеркнем, что неизвестное значение параметра неслучайно, а интервал - случаен. То есть - вероятность того, что случайный интервал накроет неслучайное, неизвестное значение параметра .
Определение. Число называют доверительной вероятностью, - уровнем значимости, - доверительными границами, - доверительным интервалом.
Замечание. Часто применяют односторонние доверительные интервалы, границы которых определяются из условий или .
Замечание. Подчеркнем, что задача нахождения границ доверительного интервала для параметра достаточно сложна. Для построения этого интервала, необходимо знать закон распределения оценки (статистики ), который может зависеть и от неизвестного параметра , и от закона распределения случайной величины Х. В ряде случаев удается перейти от статистики к некоторой другой статистике, закон распределения которой зависит от закона распределения случайной величины Х, числа опытов, но не зависит от неизвестных параметров.
|
|
Основные результаты математической статистики получены для распределения статистик, построенных по выборке из нормально распределенной генеральной совокупности.
Пример. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины по результатам наблюдений с доверительной вероятностью .
Решение. Для того, чтобы найти доверительный интервал для математического ожидания, используется статистика: ,
где - число элементов в выборке;
- неизвестный параметр – математическое ожидание случайной величины;
- несмещенная выборочная дисперсия;
- выборочное среднее.
Данная статистика имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.
Замечание. Пусть задана случайная величина , для которой известна функция распределения . Квантилью порядка р, называется число , удовлетворяющее уравнению: . Это уравнение равносильно следующему: . Как правило, квантили часто используемых распределений приведены в таблицах.
Для нахождения доверительного интервала используем условие:
.
Решим неравенство: относительно ; получим:
.
Плотность распределения Стьюдента - четная функция, поэтому доверительный интервал выбирают симметричным: ; , здесь в качестве концов интервала используют квантили порядка и () распределения Стьюдента с степенями свободы (эти квантили находим по приложению 2). Квантили этого распределения удовлетворяют условию: ; поэтому доверительный интервал для математического ожидания можно записать в виде:
|
|
.
Для того, чтобы найти доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной случайной величины, используется статистика:
, которая имеет распределение (хи-квадрат) с степенями свободы. Доверительный интервал будем искать из условия:
.
Решим неравенство: относительно неизвестного значения , получим:
.
Плотность распределения случайной величины несимметричная функция ( принимает только положительные значения), поэтому доверительный интервал выбираем так, чтобы вероятность выхода случайной величины за пределы интервала слева и справа была одинакова: , т.е. концами интервала являются квантили порядка и распределения с степенями свободы (значения этих квантилей находим по приложению 3).
Таким образом, доверительный интервал для дисперсии имеет вид:
.