2015-04-01
908
Точечная оценка дает приближенное значение параметра, однако в ряде задач требуется более строгое решение, а именно, желательно знать, что ошибка полученной оценки не выйдет за определенные пределы. Это особенно важно при малом числе наблюдений.
Пусть для параметра 
получена несмещенная оценка 
. Зададим некоторую, достаточно большую вероятность 
(0.9, 0.95, 0.99) и найдем число 
из условия: 
или 
.
Это означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра попадет в интервал 
.
Замечание. Подчеркнем, что неизвестное значение параметра неслучайно, а интервал 
- случаен. То есть - вероятность того, что случайный интервал накроет неслучайное, неизвестное значение параметра .
Определение. Число называют доверительной вероятностью, 
- уровнем значимости, 
- доверительными границами, - доверительным интервалом.
Замечание. Часто применяют односторонние доверительные интервалы, границы которых определяются из условий 
или 
.
Замечание. Подчеркнем, что задача нахождения границ доверительного интервала для параметра достаточно сложна. Для построения этого интервала, необходимо знать закон распределения оценки (статистики ), который может зависеть и от неизвестного параметра , и от закона распределения случайной величины Х. В ряде случаев удается перейти от статистики к некоторой другой статистике, закон распределения которой зависит от закона распределения случайной величины Х, числа опытов, но не зависит от неизвестных параметров.
|
|
|
Основные результаты математической статистики получены для распределения статистик, построенных по выборке из нормально распределенной генеральной совокупности.
Пример. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины по результатам наблюдений с доверительной вероятностью 
.
Решение. Для того, чтобы найти доверительный интервал для математического ожидания, используется статистика: 
,
где 
- число элементов в выборке;
- неизвестный параметр – математическое ожидание случайной величины;
- несмещенная выборочная дисперсия;
- выборочное среднее.
Данная статистика имеет распределение Стьюдента с 
степенями свободы.
Замечание. Пусть задана случайная величина 
, для которой известна функция распределения 
. Квантилью порядка р, называется число 
, удовлетворяющее уравнению: 
. Это уравнение равносильно следующему: 
. Как правило, квантили часто используемых распределений приведены в таблицах.
Для нахождения доверительного интервала используем условие:
. 
Решим неравенство: 
относительно 
; получим:
.
Плотность распределения Стьюдента - четная функция, поэтому доверительный интервал выбирают симметричным: 
; 
, здесь в качестве концов интервала используют квантили порядка 
и (
) распределения Стьюдента с степенями свободы (эти квантили находим по приложению 2). Квантили этого распределения удовлетворяют условию: 
; поэтому доверительный интервал для математического ожидания можно записать в виде:
|
|
|
.
Для того, чтобы найти доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной случайной величины, используется статистика:
, которая имеет распределение 
(хи-квадрат) с степенями свободы. Доверительный интервал будем искать из условия:
.
Решим неравенство: 
относительно неизвестного значения 
, получим:
.
Плотность распределения случайной величины несимметричная функция ( принимает только положительные значения), поэтому доверительный интервал выбираем так, чтобы вероятность выхода случайной величины 
за пределы интервала слева и справа была одинакова: 
, т.е. концами интервала являются квантили порядка и 
распределения с степенями свободы (значения этих квантилей находим по приложению 3).
Таким образом, доверительный интервал для дисперсии имеет вид:
.
