Формула Тейлора

Предположим, что функция у =f(х) имеет все производные до (п + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содержа­щем точку х = а. Найдем многочлен Р_п (х) степени не выше п, такой, что

(30)

т.е. в точке х = а значения многочлена и функции, а также их соответ­ствующих производных совпадают. Многочлен Р (х) будем искать в виде

(31)

Коэффициенты этого многочлена определим из условий (30), для чего предварительно найдем его производные:

(32)

Подставляя значение х = а в формулы (31) и (32), получаем

(33)

Из равенств (30) и (33) находим

(34)

или

Подставляя эти значения в формулу (31), получаем искомый многочлен:

(35)

Обозначим через разность между данной функцией у =f(х) и многочленом (35): , откуда

(36)

или

(37)

R (х) называется остаточным членом.

Следовательно, при тех значениях х, для которых R (х) достаточно мало, вместо функции у =f(х) можно рассматривать ее многочлен (35).

Формула (37) называется формулой Тейлора. Если в этой формуле положить x= 0, то получим новую формулу

(38)

которая называется формулой Маклорена.