Коэффициент усиления в установившемся режиме

Одна из важнейших характеристик линейной системы – коэффициент усиления в установившемся режиме или статический коэффициент усилении (static gain, DC-gain). Его можно определить как установившееся значение сигнала выхода при постоянном входном сигнале, равном единице. Размерность этой величины равна отношению размерностей сигналов выхода и выхода.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Полагая все производные (в установившемся режиме) равными нулю, получаем

Статический коэффициент усиления равен .

Если задана передаточная функции, для вычисления надо подставить в нее , поскольку переменная соответствует оператору дифференцирования. Рассмотренному выше уравнению можно сопоставить передаточную функцию

Тогда

Если система содержит интегрирующее звено (передаточная функция имеет полюс в точке ), этот предел равен бесконечности, то есть, при постоянном сигнале выход бесконечно увеличивается или уменьшается, не достигая установившегося режима.

Тот же результат можно получить с помощью эквивалентной модели в пространстве состояний. С помощью среды Matlab находим

Полагая , получаем модель, определяющую установившийся режим

откуда следует

Для нашей системы, как и раньше, получаем . Заметьте, что для того, чтобы статический коэффициент усиления был конечен, требуется обратимость матрицы , то есть, отсутствие интегрирующих звеньев[2].