2015-05-10
2403
Лабораторная работа № 1
Исследование разомкнутой линейной системы
(краткие теоретические сведения)
Модели линейных систем
Для описания линейных систем могут применяться несколько способов:
· модели в пространстве состояний
· модели вида «нули-полюса»
Первые два способа называются временны َ ми, поскольку описывают поведение системы во временной области и отражают внутренние связи между сигналами. Передаточные функции и модели вида «нули-полюса» относятся к частотным способам описания, так как непосредственно связаны с частотными характеристиками системы и отражают только вход-выходные свойства (то есть, описывают динамику не полностью).
Частотные методы позволяют применять для анализа и синтеза алгебраические методы, что часто упрощает расчеты. С другой стороны, для автоматических вычислений более пригодны методы, основанные на моделях в пространстве состояний, поскольку они используют вычислительно устойчивые алгоритмы линейной алгебры.
Исходные уравнения динамики объектов, которые строятся на основе законов физики, имеют вид нелинейных дифференциальных уравнений. Для приближенного анализа и синтеза обычно проводят их линеаризацию в окрестности установившегося режима и получают линейные дифференциальные уравнения.
Линейное уравнение 
можно записать в операторной форме
или 
где 
– входной сигнал, 
– сигнал выхода, 
– оператор дифференцирования, 
и 
– операторные полиномы.
Передаточная функция 
линейной стационарной системы от комплексной переменной 
определяется как отношение преобразования Лапласа выхода к преобразованию Лапласа входа при нулевых начальных условиях
Передаточная функция звена, которое описывается приведенным выше уравнением, равна
,
то есть, совпадает с отношением операторных полиномов 
при замене переменной 
на .
Передаточная функция в среде Matlab вводится в виде отношения двух многочленов (полиномов) от комплексной переменной s. Полиномы хранятся как массивы коэффициентов, записанных по убыванию степеней. Например, передаточная функция
вводится следующим образом[1]
>> n = [2 4]
n =
2 4
>> d = [1 1.5 1.5 1]
d =
1.0000 1.5000 1.5000 1.0000
>> f = tf (n, d)
Transfer function:
2 s + 4
-------------------------
s^3 + 1.5 s^2 + 1.5 s + 1
или сразу, без предварительного построения числителя и знаменателя:
>> f = tf ([2 4], [1 1.5 1.5 1]);
В памяти создается объект класса tf, описывающий передаточную функцию. Точка с запятой в конце команды подавляет вывод на экран.
По передаточной функции можно легко построить модель в форме «нули-полюса»
>> f_zpk = zpk(f)
Zero/pole/gain:
2 (s+2)
-----------------------
(s+1) (s^2 + 0.5s + 1)
Нулями называются корни числителя, полюсами – корни знаменателя. Эта функция имеет один нуль в точке 
и три полюса в точках 
и 
. Паре комплексных полюсов соответствует квадратный трехчлен.
Модель в пространстве состояний связана с записью дифференциальных уравнений в стандартной форме Коши (в виде системы уравнений первого порядка):
Здесь 
– вектор переменных состояния размера 
, 
– вектор входных сигналов (вектор управления) размера 
и 
– вектор выходных сигналов размера 
. Кроме того, 
и 
– постоянные матрицы. Согласно правилам матричных вычислений, матрица 
должна быть квадратной размера 
, матрица 
имеет размер 
, матрица 
– 
и матрица – 
. Для систем с одним входом и одним выходом матрица – скалярная величина.
Для преобразования передаточной функции в модель в пространстве состояний используется команда
>> f_ss = ss (f)
a =
x1 x2 x3
x1 -1.5 -0.1875 -0.03125
x2 8 0 0
x3 0 4 0
b =
u1
x1 0.5
x2 0
x3 0
c =
x1 x2 x3
y1 0 0.5 0.25
d =
u1
y1 0
Это означает, что матрицы модели имеют вид
, 
, 
, 
.
Модель в пространстве состояний можно построить не для всех передаточных функций, а только для правильных, у которых степень числителя не выше, чем степень знаменателя. Например, передаточная функция
– неправильная, она не может быть преобразована в модель в пространстве состояний.
Используют также понятие строго правильной функции, у которой степень числителя меньше, чем степень знаменателя. Если построить модель в пространстве состояний для такой функции, матрица будет равна нулю, то есть, прямая передача с входа на выход отсутствует (при скачкообразном изменении входа сигнал на выходе будет непрерывным).
