Основные теоретические положения. Экспериментальное исследование сложных электрических цепей постоянного тока методом компьютерного моделирования

Работа 1 (в). ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Экспериментальное исследование сложных электрических цепей постоянного тока методом компьютерного моделирования. Проверка опытным путем метода расчета сложных цепей постоянного тока с помощью первого и второго законов Кирхгофа.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Электрической цепью называют совокупность источников и приемников электрической энергии, соединенных между собой проводами, предназначенную для передачи и преобразования электрической энергии. Источники электрической энергии характеризуются величиной ЭДС E, измеряемой в вольтах (В), и внутренним сопротивлением r, измеряемым в омах (Ом).

Приемниками электрической энергии в электрических цепях могут быть катушка индуктивности, конденсатор, аккумуляторная батарея в режиме зарядки, электрическая машина в режиме двигателя, лампа накаливания, электрическая печь и другие электрические компоненты. В них происходит необратимое (электрические печи) или обратимое (конденсатор, катушка индуктивности и аккумуляторная батарея) преобразование электрической энергии в другие ее виды. В цепях постоянного тока мы будем далее рассматривать только так называемые диссипативные элементы, которые не могут накапливать электрическую или магнитную энергию. Полученная ими электрическая энергия необратимо преобразуется в другие виды энергии, например в тепло. Все эти приемники – лампы накаливания, электрические печи и другие пассивные приемники мы будем представлять в виде резисторов, которые характеризуются основным параметром – электрическим сопротивлением R, равным отношению постоянного напряжения U между выводами резистора к постоянному току I, протекающему в нем, т. е.: R=U/I. Величина электрического сопротивления R, измеряется в омах (Ом).

Для расчета простых электрических цепей используют закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС. Например, если между двумя точками а и b в электрической цепи включены только пассивные элементы – резисторы, то закон Ома для этого участка цепи запишется:

. (1.1)

Если же участок цепи a-b содержит источник ЭДС E_ab, то ток, протекающий по этому участку, будет определяться формулой:

. (1.2)

Здесь - ток, протекающий по участку ab,

- напряжение на участке ab, т.е. напряжение между точками a и b;

- суммарное сопротивление всех пассивных элементов, включенных на участке ab цепи между точками a и b;

- ЭДС, действующая на участке ab. Эта ЭДС входит в выражение со знаком плюс, если ее направление совпадает с направлением тока , и со знаком минус, если ее направление противоположно направлению тока .

При последовательном соединении резисторов R ₁ и R ₂ их сопротивления складываются, т.е. эквивалентное сопротивление в этом случае будет равно:

. (1.3)

При параллельном соединении тех же двух резисторов их эквивалентное сопротивление находится по формуле:

. (1.4)

Сложной электрической цепью называют такую цепь, которая не может быть сведена только к последовательному или параллельному соединению источников и приемников электрической энергии (рис. 1.1).

Линейной электрической цепью называют электрическую цепь, содержащую приемники и источники электрической энергии, параметры которых (сопротивления и проводимости) остаются постоянными и не зависят от величины и направления протекающего через них тока. Зависимость тока от приложенного напряжения в таких приемниках (резисторах) изображается прямой линией, а сами резисторы называются линейными резисторами.

Рис. 1.1

Сложные электрические цепи имеют несколько узлов и ветвей, а также могут иметь и несколько источников питания. Ветвью электрической цепи называют участок схемы, состоящий из нескольких последовательно соединенных элементов, по которым протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называют точку соединения, к которой подходит не менее трех ветвей.

Расчет сложной линейной электрической цепи заключается в определении токов во всех ветвях и сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, составленных по законам Кирхгофа для данной электрической цепи.

Решение системы алгебраических уравнений представляет собой достаточно трудоемкую работу, объем которой возрастает с увеличением числа неизвестных при увеличении сложности электрической цепи.

В целях сокращения числа уравнений, решение которых даст искомые величины и определит режим электрической цепи, разработаны различные методы расчета линейных электрических цепей: например, метод контурных токов, где уравнения составляются только по второму закону Кирхгофа, или метод узловых потенциалов, когда уравнения составляются только по первому закону Кирхгофа.

В данной лабораторной работе экспериментально исследуется метод расчета электрических цепей с помощью составления и решения уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом: сумма притекающих к узлу токов равна сумме вытекающих из узла токов или алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, т. е.

Например, для узла b (см. рис. 1.1): или

. (1.5)

Второй закон Кирхгофа гласит: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжения на всех сопротивлениях этого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре, т. е.

.

Например, для контура abda:

R ₁· I ₁+ R ₃· I ₃= E ₁ . (1.6)

Для контура cbdc:

R ₂· I ₂+ R ₃· I ₃= E ₂ . (1.7)

Запишем уравнения (1.6) – (1.7) в канонической форме. Для этого расположим неизвестные в уравнениях в порядке их нумерации и заменим отсутствующие члены членами с нулевыми коэффициентами:

I ₁ + I ₂ – I ₃ = 0

R ₁· I ₁+ 0· I ₂+ R ₃· I ₃ = E ₁

0· I ₁+ R ₂· I ₂+ R ₃· I ₃ = E _2,

или в матричной форме:

(1.8)

После подстановки численных значений ЭДС и сопротивлений полученная система уравнений решается известными из математик и методами, например методом Крамера или методом Гаусса. Можно решить эту систему и в интегрированном пакете MATHCAD.

В любой электрической цепи выполняется закон сохранения энергии, т. е. мощность, развиваемая источниками электрической энергии равна сумме мощностей, потребляемых приемниками электрической энергии. Этот баланс мощностей записывается следующим образом:

или . (1.9)

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. «Собрать» на экране монитора электрическую схему (рис. 1.1), параметры элементов которой должны быть установлены на компьютере в соответствии с вариантом (табл. 1.1). Заметим, вариант выбирается по последней цифре шифра студента.

Рис. 1.1

Таблица 1.1

№ варианта	Е 1, В	Е 2, В	R 1, Ом	R 2, Ом	R 3, Ом

2. С помощью амперметров А1–А3 измерить токи I ₁, I ₂, I ₃ исследуемой схемы. Результаты измерений занести в табл. по форме 1.1.

Форма 1.1

Эксперимент	Расчет
Е 1, В	Е 2, В	I 1, А	I 2, А	I 3, А	I 1, А	I 2, А	I 3, А

3. Составить систему уравнений по законам Кирхгофа для исследуемой цепи, подставив в эти уравнения вместо сопротивлений и ЭДС их величины.

I ₁ – I ₂ + I ₃ = 0,

R ₁· I ₁+ R ₂· I ₂+0· I ₃ = E ₁,

0· I ₁+ R ₂· I ₂+ R ₃· I ₃ = E ₂.

4. Решить полученную систему и результаты расчета занести в табл. по форме 1.1. Сравнить расчетные токи с измеренными ранее в лабораторной работе.

5. Проверить баланс мощностей по равенству:

.

6. Сделать вывод по результатам проделанной работы.

4. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1. Схема исследуемой цепи.

3. Основные расчетные соотношения.

4. Таблица по форме 1.1 с результатами измерений и вычислений.

5. Расчет баланса мощностей.

5. Краткие выводы.

5. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Сформулировать закон Ома для участка цепи.

2. Сформулировать первый и второй законы Кирхгофа.

3. Сколько независимых уравнений необходимо составить для расчета сложной цепи по первому закону Кирхгофа?

4. Сколько независимых уравнений необходимо составить для расчета сложной цепи по второму закону Кирхгофа?

5. Чему равна общая ЭДС при последовательном включении источников энергии?

6. Сформулируйте баланс мощностей для цепей постоянного тока.

Л и т е р а т у р а: [2], c. 14...18.