Решение уравнений в пакете Mathcad

Для решения уравнения, как известно, применяются графический, аналитический и численные методы.
В среде пакета Mathcad уравнения мы будем решать комбинированно: графическим методом и, используя встроенные в Mathcad функции (они, в свою очередь, реализуют некоторые численные методы для решения уравнений, какие – узнаем позднее).

Итак, графическим решением уравнения является построение графика функции и определение точек пересечения функции с осью OX. Используя заготовку «Декартов график», вызываемую с панели графиков кнопкой (Shift-2) можно построить график функции. Изменяя границы построения графика функции по осям, графически определяются корни уравнения. Так на рис.1 показан график функции .

а) б)

Рисунок 1 – График функции
а) начальное приближение; б) уточнение корня на диапазоне [-1; 5]

При начальном построении автоматически получаем график функции на диапазоне [-10; 10]. Чтобы изменить диапазон, меняем соответствующие значения в заполнителях по осям. На рис.1 б) видны две точки пересечения с осью OX: в точке -0.4 и в точке 3.8. Поскольку заданная функция периодична – определение других корней не целесообразно. Найденные значения и являются графически решением уравнения.

Теперь рассмотрим некоторые существующие способы решения уравнения в пакете Mathcad.

Способ 1. Применение функции root

Функция root может быть вставлена вручную или же с помощью мастера функций, запускающегося с кнопки (рис.2). Синтаксически функция root записывается так: root(<Выражение>,<Переменная>), где <Выражение> – левая часть уравнения вида F(x)=0, нулевой корень которого следует вычислить; <Переменная> – указывается имя ведущей переменной уравнения, т.е. переменной, относительно которой решается уравнение. Определим с помощью этой функции корни уравнения (рис.3).

Перед вставкой функции выбираем начальное приближение для переменной x. Графически мы определили два корня: -0.4 и 3.8. Начальное приближение нужно задавать в окрестностях этих найденных значений. С помощью функции root корень может быть найден только один, поэтому если корней несколько – функцию придется применять несколько раз (рис.3).

Способ 2. Применение решающего блока Given и функции Find

Еще одним удобным способом решения уравнений является использование решающего блока Given и функции Find. Точно так, как и при применении функции root, изначально задается нулевое приближение для переменной x. Далее вручную вносится зарезервированное системой слово Given и ниже записывается уравнение в виде F(x)=0. Чтобы набрать приравнивание нулю используется кнопка (Ctrl+=) с панели «Булева алгебра», открывающаяся с кнопки – это будет логическое равенство. Данный способ применяется и для решения уравнений и неравенств.

Определим этим способом корни уравнения (рис.4). Поскольку корней – два, два раза определяем нулевое приближение и два раза создаем решающий блок.

Способ 3. Символьное решение уравнения

Еще одним важным способом решения уравнения является его символьное решение. Выполняется такой расчет при помощи функции , которая вставляется с панели «Символьные» (кнопка ). В результате расчета при помощи этой функции в виде вектора будут выведены все корни уравнения в пределах одного периода. Переменная, относительно которой производится расчет, ранее не должна быть определена на рабочем листе. Покажем решение все того же уравнения этим способом (рис.5).