Сурет 9.5

Жылу өткізгіштің сызықтық теңдеуін қарастырайық:

(9.1)

Мынадай шарттарымен

шектелген облыста қисық сызықты шекарамен. теңдеуі еш қай жерде шықпаса да яғни, k(x, y) > 0 облыстың барлық нүктелерінде, сондай ақ шектік нүктесінде.

облысында төртбұрышты ұяшықтармен тор берілген. Тор байланған деп саналады, яғни кез келген екі ұяшықтың басына сынық бар, оларды жалғайды. (9.5 сурет).

Тор былай құрылған болсын, айналдыру бар, ішінде тең өлшемді торы бар облыс параллелограмға көшу. Онда координаталық сызықтар x, y қисық координаталы қисық сызықты базиске көшеді .

(9.1) теңдеуді қайтадан жүйе ретінде жазамыз:

(9.2)

Функционалды қарастырып,

(9.3)

Мынаны табамыз :

Осыдан

Функционалдың минимумы жылу өткізгіштік теңдеуінің шешімінде жетеді.

Айырымдық сұлбаны құру үшін функционалдың дискретті аналогын енгіземіз .

Функционалды құрмас бұрын, айырымдық тордың ұяшығын қарастырайық (9.6 сурет). Те u_ij температурасын және k_ij жылу өткізгіш коэффициентін (немесе температура өткізгіш) ұяшық ортасына апарамыз (диагональдардың қиылысу нүктесі). Келесіде ұяшықта үнемі термодинамикалық өлшем бар деп есептейміз.(9.6 сурет), ал қабырғаның центріне координаталық осьтің проекциясының ағыны сәйкес келеді. I координатасының ұлғаю мөлшеріне қатысты деп санаймыз; j ұлғаю мөлшеріне қатысты; Ағындық векторлардың прекциясы сәйкес координапталық сызықтарға бойлай бағытталған. Екі ұяшықтың ағындарының проекциясы сыртқы нормалдардың векторларымен бағыттас, ал екеу үшін қарама қарсы бағытталған.