Сурет 9.7

" + " және " - " белгілері ереже бойынша мыналарды анықтайды: " + " – ағын компоненті, егер ағын проекциясы сыртқы нормалмен бағыттас болса, ал " - " белгісі егер қарама қарсы бағыт болса. Осылайша соңғы бөлгіштен (бірдей белгілердің проекциясы) және ұяшық бұрыштары үшін " + " белгісін аламыз, ал және бұрыштары үшін " - " белгісі (әр түрлі белгілердің туындысында жылу ағындарының проекциясы).

Анық сұлбаны алу үшін (9.5) – тегі жоғарғы қабаттың салмағын уақыт бойынша қойып , (9.5) –ті барлық бойынша дифференциалдайық. Ағындарды анықтау сұлбасын алу үшін, туындыларды нөлге теңестіріп, (9.4) тен барлық ді іздейміз. (9.4) те анық емес сұлбаларды құру үшін деп есептеп, (9.5) тің орнына келесі дискретизацины жазамыз:

(9.5) те әлі белгісіз мәндерді өрнектеп, тәуелді өрнек аламыз, және - жасырын проекцияның квадратының қосындысы.

Дифференциалдап, ағындарды анықтау үшін сызықты теңдеулер жүйесін. Жүйенің матрицасы келесі қатынастарға ие екенін көрсетуге болады:

1.

2. таспалық құрылымды;

3. бөліктенген.

Жүйені шешудің нәтижелі итерациялық әдісін қолдануға болады.

Анық емес сұлба сөзсіз тұрақты болатыны дәлелденген, ал анық сұлба – шартты тұрақты.

Егер теңдеу айырылмаса, k = k(x, y, u) болғанда әдіс оңай жинақталады. Бұл әдіс өзге шектік шарттар кезінде де жинақталуы мүмкін (ағындардың болмауы міндетті емес). Бұл жағдайда (9.3) функционалына сәйкес шек бойынша интегралдар қосылады, ал (9.5) ке бет бойынша қосынды.

Толығырақ (19.2) де оқуға болады.

9.4. Өзіндік шешуге арналған тапсырмалар

1. Кортевег - Де Фриз теңдеуі

Математикалық физиканың ең керемет теңдеулерінің бірі — Кортевег - Де Фриз теңдеуі (қысқаша КДФ) көп жағдайда мына түрде жазады

немесе

o Бұл формалардың жазылуын бір біріне ауыстыру кезіндегі өзгерісін табу

o Қайталану шартымен берілген облысында u_t - 6uu_x + u_xxx = 0 теңдеуі үшін есеп қарастырамыз.

Кейде 9.8 суретте көрсетілгендей теңдеуді шешу үшін үшқабатты айырымдық сұлба қолданылады (үшінші туынды симметриялық бейненің бес нүктесі бойынша жазылады, кейбір коэффициенттер нөлге айналуы мүмкін). Оны апроксимацияғы және тұрақтылыққа зерттеу. Қандай тұрақтылық шартын алдық? Жылу өткізгіштік теңдеуді шешу үшін Саульева шаблон сұлбасын қолданып, шаблонда айырымдық сұлбаны құру. (9.9 а, б сурет)