Сурет 9.9

Алынған сұлбаларды апроксимацияға және тұрақтылыққы зерттеу үшін жоғарғы қабатта қуалау әдісін қолдануға бола ма?

o u_t - 6uu_x + u_xxx = 0 теңдеуінде шексіз сақталу заңдары бар. Солардың бірнешеуін көрсетейік:

Тор деңгейінде сақталу заңдары орындалу үшін кертартпалық айырымдық сұлбаны қалай құруға болады

o Жоғарыда келтірілген үшінші сақталу заңы үлкен рөл атқарады. Ол u_t - 6uu_x + u_xxx = 0 теңдеуінің Гамильтоны болып табылады, яғни

Мұнда

I₁ - функционалдың туындылы вариациясы, айырымдық сұлбаны алу тәсілі, гамильтониан жүйесін сақталушы.

Шешуі. I₁ гамильтониан кестелік аналогын жазамыз:

Бақылау сұрағы: Неге O(h²) дәлдігімен I₁ аппроксимациялайды?

Кестелік деңгейде алынған туындылы вариация барлық бойынша дифференциалданғанын және h бөлікке бөлінгенін білдіреді. Онда туындылы вариацияның кестелік жазылуын аламыз:

(4.4.3) дискретті аналогын h бойынша екінші ретпен апроксимациялап, мынаны аламыз

Уақыт айырмасы бойынша туындыны айырбастап

Және n қабатта оң жақ бөлігін есептеп, 2 пункттағы бір сұлбаны аламыз.

Әрине, гамильтонианның түрлендіргенде өзге айырымдық сұлбаларға әкелетін басқа да апроксимациялары болуы мүмкін. Кестелік деңгейде бұл сұлбалар үшін сақталу заңы орындалатын болады, олардың бәрі симметриялық шаблондарда жазылады. Все они будут записываться на симметричных шаблонах, на сеточном уровне для этих схем также будет выполняться закон сохранения .

Симметриялы емес шаблонда Саульлева типтес вариациялық сұлбаны ала аламыз ба?

Қосымша материалдар: Қосымша. Математикалық физикада Параллельные вычисления на кластерах из персональных компьютеров в математической физике (В.Е.Карпов, А.И.Лобанов): версия для печати и PDA