Лекция 8. Дәрiс - жергiлiктi - бiр өлшемдi схемалар бойынша ыдырау әдiстерiнде және физикалық құбылыстарға

Ыдыраудың әдiстерi.

Дәрiс - жергiлiктi - бiр өлшемдi схемалар бойынша ыдырау әдiстерiнде және физикалық құбылыстарға арналған ыдырау қағидаларына негiзделген математикалық - физикалық теңдеулерi үшiн үнемдi айырма схемалардың құрастыруының идеяларымен таныстырады.

8.1 Ыдырау әдістеріне түсінік

Тұрақты коэффициенттерi бар туындылардың бөлiндiлерiндегi теңдеуi үшiн дифференциалды есептi қарап шығамыз:

(8.1)

Оператор бұл жерде - тұрақты коэффициенттерi бар оң дифференциалды оператор. Оператор жазылуы бойынша туындылар кеңiстiктiң айнымалысына кiредi. Кез келген нөл емес элемент үшiн орындалған. — интегралдаудық облыстың шекарасы ; — айырма оператор аппроксимациялайтын . Айырма теңдеуді тексеруге болады.

(8.2)

екiншi ретпен (8.1) аппроксимация жасайды (Кранка – Никольсон схемасы).. [tn + 1/2, tn + 1] [tn, t + 1/2] интервалда жазып алынған аппроксимациялардың бiрiншi дәрежесiнiң анық және анықталмаған схемаларын кезектескен тыс қолдануды нәтиже ретінде түсiндiруге болатынын байқаймыз.

(8.3)

Аралық жiктегi (8.3) теңдеулердiң функцияның мәндерiнен алмағанда (жартылай бүтiн индекспен) әр уақытта (8.2) аламыз. Егер, онда

(8.4)

Сонымен айырма операторы оң болып табылады:

Келесi жiктегi шешiм операторлық түрде төмендегiше жазылады:

немесе

онда

Алған айырма теңдеудiң орнықтылығының дәлелдерi үшiн (uⁿ + u^{n + 1})/ 2ге (8.4) скалярлық көбейтемiз, төмендегі теңдеуді аламыз.

(8.5)

Дұрыстыққа байланысты айырма оператор өйткенi (8.5) – тен схеманың орнықтылығы қамтамасыз екенi шығады. Егер әр уақытта жоғарғы және төменгi қабаттар айырма операторлардың жартылай сомасының таңдалған түріндегі (кеңiстiктiң айырымдары) айырма операторы болады.

Схема бойынша аппроксимацияның екiншi ретiн алады.

8.2. Tau(τ) бойынша бiрiншi және екiншi ретті ыдырау әдiсi

8.2.1. Жергiлiктi - бiр өлшемдi схемалар

Айырма оператор әрбiрi сәйкесiнше бiр сарынды тек қана кеңiстiктiң айнымалы және айырымның тек қана бiр-бiрiндегі туындыларын бойлай қосатын операторлардың сомасы түрiнде көрсетуге болатын сәйкес дифференциалды операторды қоямыз. Барлық кеңiстiктiң бағыттары N. Мұндай дифференциалды және айырма операторларды жергiлiктi – бір өлшемді деп атаймыз. Дифференциалды және айырма операторлар сома түрiнде жергiлiктi - бiр өлшемдi ретпен жазылады:

Бiркелкi есеп үшiн бағыттар бойынша ыдыраудың схемасын көшiрiп алуға болады:

Әрбiрi бастапқы дифференциалды аппроксимация жасамайтын айырма теңдеулердiң жүйесi алынған, бiрақ оңай (егер айырма операторлар тек қана алғашқы және екiншi айырымдарда болса,тиiстi бағыттың прогонкасының әдiсiмен) шешiле алады. Әйтсе де, олардан басқа дәлдікті түрде қолданылған теңдік бірінен соң бірі әр уақытта дәлдiгi бар келесі шешімді бередi. Суммалық аппроксимация қорытынды операторларын аппроксимациялайтын жиынтық орын алады. Жоғарыда айтылған әдіс бөлшектi адымдардың әдiсi деп аталады да, көп өлшемдi жылу өткiзгіш теңдеуінiң шешiмiнде кездеседі.

Бiртектi емес есебi үшін ыдырау схемасының бастапқы варианты сияқты болады.

Мысалы, оның барлық теңдеуiндегi оң бөлiктiң есепке алынуының тағы басқа әдiстерi, (келесi жiктегi аппроксимацияның қатесiнiң минимизациялауы) ең жақсы жиынтық аппроксимация шарттарынан жиналып алынатын көбейткiштерi болуы мүмкiн.

Бағыттар бойынша ыдыраудың жоғары келтiрiлген схемалары абсолюттi тұрақты.