Метод корневого годографа

Корневой годограф (КГ) – совокупность траекторий, перемещение корней характеристического уравнения замкнутой системы при изменении какого-нибудь параметра системы.

Например.

Передаточная функция разомкнутой системы.

Другая форма записи:

- основное уравнение метода КГ.

Пусть корни характеристического уравнения S1, S2, …. Sn замкнутой системы. Далее, полюса передаточной функции разомкнутой системы L(s)

P1, p2 …. Pn

Передаточная функция разомкнутой системы:

N(s) N1, N2, …. Nm (m<n) m –знаменатель n – числитель.

Pi Nj - не зависят от коэффициентов усиления разомкнутой системы.

Задача. Расположение Pi Nj на комплексной плоскости корней (для разомкнутой системы).

kW(s)

Найти характеристические корни Si замкнутой системы как функцию параметра К (к.у. разомкнутой системы) т.е. построить корневой годограф.

Корни характеристического уравнения являются полюсами передаточной функции замкнутой системы.

Нули передат. функции замкнутой системы совпадают с нужными передаточными функциями разомкнутой системы.

Основное уравнение корневого годографа можно разделить на уравнение модулей и уравнение фаз:

Представим уравнение разомкнутой системы в виде произведения корней и полюсов.

(n>m)

C N(s) L(s)

С – отношение коэффициента при старших членах от многочленов N(s) и L(s).

На комплексной плоскости будет вектор.

Рис 17.1

Х – полюса

0 – Нули

Пол.

kW(s)

каждый из векторов имеет модуль и аргумент.

Sk – Nj

Фаза модуль

Sk – Ni

Тогда уравнение фаз:

Уравнение фаз не зависит от параметра k.

Уравнение модуля:

Решение задачи.

Найти положение s_k, которое удовлетворяет уравнению фаз при любых значениях p_i и N_j.

Уравнение модулей (посчитать величину k₀ уравнению модулей).

Постепенно построить весь корневой годограф.

Пример.

Рис 17.2

Где

s_i – корни характеристического уравнения замкнутой системы.

При K=0 s_k совпадает с p_i.

Уравнение фаз:

Уравнение фаз для s₁ будет выполняться, если он находится между точками p₁ и N₁.

Для s₄: действительная ось и левее p₄ .

При увеличении К точки движутся по стрелочкам.

Для s₂ и s₃: уравнение фаз выполняется, если они находятся между p₂ и p₃. При увеличении К – движутся навстречу, могут слиться. При дальнейшем увеличении К пойдут по дугам (станут комплексными).

Из уравнения модулей: