Доказательство. Для упрощения доказательства, предположим, что закон распределения аргументов известен

Для упрощения доказательства, предположим, что закон распределения аргументов известен. Тогда непараметрическая оценка регрессии принимает (3.4) вид

. (3.7)

1. Асимптотическая несмещённость , при которой

.

Методика доказательства асимптотических свойств аналогична теореме 3.1.

Для проверки свойства несмещённости покажем, что

.

Подставим вместо оценку (3.7)

.

Представим математическое ожидание в интегральной форме

.

Так как наблюдения одной и той же случайной величины , то .

Тогда

.

Распишем совместную плотность вероятности в виде произведения .

В результате получим

.

Учитывая, что - условное математическое ожидание (3.3) и проведя замену переменных , , и т.д., получаем

.

Разложим функции и в ряд Тейлора в точке .

Тогда

.

Учитывая, при нечётном значении и (см. теорему 3.1).

После сокращений получаем выражение соответствующее асимптотической несмещённости

, (3.8)

где

,

.

Отсюда следует, что непараметрическая оценка регрессии в асимптотике () стремится к оптимальному решающему правилу (условному математическому ожиданию) при .

2. Сходимость в среднеквадратическом

.