2015-05-13
591
Для упрощения доказательства, предположим, что закон распределения аргументов 
известен. Тогда непараметрическая оценка регрессии принимает (3.4) вид
. (3.7)
1. Асимптотическая несмещённость 
, при которой
.
Методика доказательства асимптотических свойств аналогична теореме 3.1.
Для проверки свойства несмещённости покажем, что
.
Подставим вместо 
оценку (3.7)
.
Представим математическое ожидание в интегральной форме
.
Так как 
наблюдения одной и той же случайной величины 
, то 
.
Тогда
.
Распишем совместную плотность вероятности 
в виде произведения 
.
В результате получим
.
Учитывая, что 
- условное математическое ожидание (3.3) и проведя замену переменных 
, 
, 
и т.д., получаем
.
Разложим функции 
и 
в ряд Тейлора в точке 
.
Тогда
.
Учитывая, 
при нечётном значении 
и 
(см. теорему 3.1).
После сокращений получаем выражение соответствующее асимптотической несмещённости
, (3.8)
где
,
.
Отсюда следует, что непараметрическая оценка регрессии в асимптотике (
) стремится к оптимальному решающему правилу (условному математическому ожиданию) при 
.
|
|
|
2. Сходимость в среднеквадратическом
.
