2015-05-13
719
Рассмотрим отдельно второе и третье слагаемое:
1). Подставим в удвоенное произведение выражение (3.8), тогда
2). 
;
Рассмотрим первое слагаемое
.
Двойную сумму можно представить в виде квадратной матрицы с 
- столбцами и - строками. Выделим главную диагональ матрицы 
и все остальные элементы
.
(3.9)
Рассмотрим данное выражение (3.9) по частям, сначала слагаемое соответствующее главной диагонали матрицы
.
Учитывая, что 
наблюдения одной и той же случайной величины 
, поэтому 
.
Тогда
.
Представим совместную плотность вероятности 
в виде произведения 
и выделив квадрат условного математического ожидания 
, получаем
.
После замены переменных 
, 
, 
и т.д., получаем
.
Разложим функции 
и 
в ряд Тейлора в точке 
до второй производной. Тогда
.
Заметим, что 3-е слагаемое в первой скобки содержит отношение 
. Если 
, а 
, то отношение очень мало. Поэтому для упрощения дальнейших выкладок будем пренебрегать ими. Тогда получим
.
Так как 
и 
, а слагаемыми с коэффициентом несоизмеримо малы, то выражение, соответствующее элементам главной диагонали матрицы имеет вид
.
Рассмотрим второе слагаемое выражения (3.9)
.
Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, поэтому данное выражение принимает вид
.
Учитывая, что 
и 
наблюдения одной и той же случайной величины , тогда 
.
Тогда
.
При отношение 
. Внесём 
под квадрат, а совместную плотность вероятности представим в виде произведения , получим
.
Заметим, что полученное выражение соответствует квадрату математического ожидания 
.
Раскрывая квадрат и пренебрегая слагаемыми малости 
, получим
.
В итоге выражение, соответствующее среднеквадратическому отклонению, имеет вид
.
Вычислим интегральное выражение среднеквадратического отклонения
. (3.10)
Оптимальный коэффициент размытости, минимизирующее интегральное среднеквадратическое отклонение
,
определяется по формуле
. (3.11)
Из полученного выражения следует, что 
.
