Оптимизация непараметрических моделей коллективного типа

Проблема оптимизации непараметрических моделей коллективного типа охватывает определение рационального закона распределения «опорных» точек, выбор оптимальных коэффициентов размытости и ядерных функций.

Выбор оптимальной ядерной функции осуществляется по аналогии с пунктом 3.3.2. При этом установлено, что оптимальным с смысле минимума среднеквадратического отклонения является ядро Епанечникова

Оптимизация непараметрических моделей коллективного типа осуществляется по аналогии с непараметрической оценкой регрессией (пункт 3.3.3).

Выбор закона распределения опорных точек. Выбор рационального закона распределения опорных точек осуществляется, основываясь на основных положениях теории вероятностей, путем решения следующей вариационной задачи

где - асимптотическое выражение среднеквадратического критерия (3.31).

В соответствии с результатами решения данной задачи рекомендуется выбирать «опорные» точки с законом распределения

повторяющим вид восстанавливаемой зависимости, что позволяет минимизировать главную составляющую дисперсии . При этом большая часть «опорных» точек формируется в области больших значений восстанавливаемой функции и её производных.

Итерационная процедура формирования упрощённых аппроксимаций. Пусть - некоторая система упрощённых аппроксимаций зависимости построенная относительно «опорных» точек . При этом эмпирическая ошибка расхождения между экспериментальными данными и строящейся непараметрической моделью

где - множество номеров точек не входящих в число «опорных» ; - множество номеров точек исходной выборки.

Вклад слагаемых в формирование эмпирической ошибки неравнозначный. Если модель в некоторой точке имеет максимальное расхождение с экспериментальным значением , то естественно было бы принять точку в качестве «опорной» при построении -ой упрощённой аппроксимации. Однако существующая невязка может быть связана с ошибкой системы контроля. Для проверки данной гипотезы можно воспользоваться условием непрерывности: близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции.

Методика формирования системы «опорных» точек модели представляется следующей последовательностью действий:

1. Выбрать в качестве первой «опорной» -юточку с максимальным значением функции либо её производной. Принять значение параметра .

2. Включить номер -й «опорной» точки в множество .

3. Оценить параметры упрощённой параметрической аппроксимации .

4. Построить непараметрическую модель коллективного типа .

5. Проверить соответствие количества опорных точек требуемому либо заданной оценке точности аппроксимации. Если условие выполнено, то процесс заканчивается.

6. Определить новую опорную точку из условия

Принять и перейти к этапу 2.

Комбинированная процедура формирования упрощённых аппроксимаций. В процессе исследований непараметрических моделей коллективного типа возникла идея создания метода формирования упрощённых аппроксимаций, учитывающих преимущество рационального метода и итерационной процедуры формирования опорных точек. Итерационная процедура обусловлена значительными временными затратами, а рациональный закон распределения сложен в реализации. Поэтому предлагается комбинированная процедура формирования упрощённых аппроксимаций.

Идея предлагаемого подхода формирования последовательности опорных точек основывается на их моделировании с равномерными законом распределения и последующей доводкой с помощью итерационной процедуры выбора упрощённых аппроксимаций, минимизирующих на каждом этапе относительную эмпирическую ошибку между восстанавливаемой зависимостью и её коллективной моделью.

Предлагаемая методика:

1. Выбрать из обучающей выборки с помощью датчика случайных чисел опорных точек .