Теорема о свойствах интеграла Римана, выражаемых равенствами

1. Ecли f(x): R ^k -> R интегр-ма на допустимом мн-ве E из R ^k и равна нулю почти всюду на этом мн-ве, то =0 2.(Линейность) Если E из R ^k допустимое и f(x) и g(x) интегрир по Р. на E то для любых действ α и β справедливо: αf(x)+βg(x) – тоже интегрир. на E и имеет место рав-во: 3. Если E₁ и E₂ из R ^k – два допуст-х мн-ва и f(x) – интегрир. по Р. на E₁ E₂ и m(E₁ E₂)=0 то . Д-во: 1) J E, Р – разб-е J на J₁...J_n Тогда всегда можно выбрать ξ_i J_i так что σ(P,fχ_E) = =0; А т.к. по условию существует limσ независимо от выбора ξ_i,получаем что = 0. 2) Пусть J – любой промежуток, содержащий E. Тогда используя определение интегр. по промеж. имеем: = = 3) Если f(x) интегр. на E₁ E₂ то в силу критерия Лебега эта ф-ция имеет мн-во точек разрыва меры 0 на мн-ве E₁ E₂ и следовательно имеет мн-во точек разырыва меры 0 на любом подмн-ве, а значит f(x) интегрир. по Р. на любом подмн-ве т.е и на E₁ и на E₂. Т.к. имеем: = = {т.к. равна нулю почти всюду на E₁ E₂} = .