Раздел 6

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Двойной интеграл

1.1. Задача об объеме цилиндрического тела.

1.2. Двойной интеграл и его основные свойства.

1.3. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах.

1.4. Замена переменных в двойном интеграле. Переход от декартовых координат к полярным.

1.5. Приложение двойного интеграла для решения задач геометрии и физики.

Литература , гл. ХIV, §1, 2, упр. 1, 4-6; §3, упр. 8-10, 15, 17; §4, упр. 24, 25, 32; §5, 6, упр. 18-20, 28; §7, упр. 43, 46, 48; §9, упр.59, 60; §10, упр. 53, 54.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется двойным интегралом от функции f(x; y) по области D? Укажите его геометрический смысл.

2. Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы и вынесении постоянного множителя за знак двойного интеграла. Докажите, что

, где .

3. Что называется двукратным интегралом от функции f(x; y) по области D? Как он вычисляется?

4. Докажите теорему о среднем для двойного интеграла, укажите ее геометрический смысл.

5. Выведите формулу для вычисления двойного интеграла с помощью двукратного. Дайте геометрическое толкование формулы в случае неотрицательной подынтегральной функции.

6. Обоснуйте формулы, служащие для вычисления объема цилиндрического тела и площади плоской фигуры с помощью двойных интегралов.

7. Выведите формулу для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.

8. Каков геометрический смысл интеграла

,
где z=z(x; y) – функция, обладающая непрерывными частными производными в области D?

9. Каков механический смысл интеграла

,
где - непрерывная функция в области D?

10. Выведите формулу для вычисления координат центра тяжести плоской фигуры D, поверхностная плотность которой .