Раздел 8

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Вопросы для самопроверки

1. Задачи, приводящие к криволинейным интегралам. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина.

2. Площадь поверхности. Определение поверхностных интегралов. Их свойства и вычисление.

3. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля. Производная по направлению. Градиент скалярного поля, его координатное и инвариантное определения.

4. Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения.

5. Односторонние и двусторонние поверхности. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского.

6. Дивергенция векторного поля, ее инвариантное определение и физический смысл. Вычисление дивергенции. Соленоидальные (трубчатые) поля.

7. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Ротор поля, его координатное и инвариантное определения. Физический смысл ротора в поле скоростей. Условия независимости линейного интеграла от формы пути интегрирования.

8. Потенциальное поле. Условие потенциальности поля. Вычисление линейного интеграла в потенциальном поле.

9. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа, его выражение в цилиндрических и сферических координатах.

В гл. XV §1-2 вводятся понятия криволинейного интеграла первого (по длине дуги) (КИ1) и второго (в координатной форме) (КИ2) рассмотрены их свойства и приложения. Вычисление криволинейных интегралов сводится в общем случае к вычислению определенного интеграла (задача 1,2), доказана формула Грина (§3), Связывающая вычисление КИ2 по замкнутой плоской кривой L с вычислением двойного интеграла по области , ограниченной этой кривой

.

Масса дуги материальной кривой при заданной линейной плотности вычисляется с помощью КИ1

.

При вычислении циркуляции векторного поля вдоль плоского контура (задача 3) следует применить формулу Грина.

В §5, 6 гл.XV вводятся понятия поверхностных интегралов первого (ПИ1) и второго (ПИ2) рода, доказываются их свойства и приложения. В §7 доказана формула Остроградского-Гаусса, связывающая вычисления ПИ2 от векторного поля

по замкнутой поверхности с вычислением тройного интеграла по области , ограниченной поверхностью

, где .

При вычислении ПИ2 по замкнутой поверхности (задача 4), как правило применяют формулу Остроградского.

При решении задачи №5 необходимо вспомнить ( гл. IX §6), что нормаль к поверхности, заданной уравнением определяется вектором

.

Производная от функции по направлению вектора вычисляется ( гл. VIII §14) по формуле

.

Положительным считается направление нормали к поверхности, составляющее острый угол с осью OZ.

Указание. При выполнении контрольной работы №8 приходится вычислять неопределенные (определенные) интегралы вида:

, при - нечетном удобно сделать замену ; при - четном либо используют тригонометрическую подстановку, либо интегрируют по частям.

Можно найти аналогичный интеграл (для конкретных значений m, a, b) в книге: Двайт «Таблица интегралов и другие математические формулы».