Примеры решения задач. Пример 1. На непроводящей нити в воздухе подвешен шарик массой т = 100 мг, несущий заряд q

Пример 1. На непроводящей нити в воздухе подвешен шарик массой т = 100 мг, несущий заряд q. Если снизу на расстоянии r = 4 см поместить шарик с таким же зарядом, натяжение нити Т исчезнет. Определить величину заряда шарика.

Дано: m = 100 мг = 10^-4 кг;

r = 4 см = 0,04 м.

Найти: q.

Решение: По условию задачи, шарик находится в равновесии под действием силы тяжести mg и силы кулоновского отталкивания F_к (рис. 1):

mg = F_к,(1)

Выразим в соответствии с законом Кулона силу F_к:

, (2)

где ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, k = 9·10⁹ м/Ф – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Подставив (2) в (1), получим:

(3)

Вычислим искомый заряд: .

Ответ: q = 13 нКл.

Пример 2. Два положительных заряда q₁ = 7 нКл и q₂ = 4 нКл находятся на расстоянии r = 15 см друг от друга. Определить положение точки, в которую нужно поместить заряд q₃, чтобы он находился в равновесии. Каков должен быть знак заряда q₃, чтобы равновесие было устойчивым?

Дано: q1= 7 нКл = 7·10-9 Кл; q2 = 4 нКл = 4·10-9 Кл; r = 15 см = 0,15 м. Найти: x.

Решение: Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесия заряда q₃. Если заряд q₃ будет находиться на линии, соединяющей заряды q₁ и q₂, то, каков бы ни был знак заряда q₃, силы его взаимодействия с зарядами q₁ и q₂ будут направлены по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, точка находится на прямой АВ (рис. 2), в которой силы будут уравновешены.

Пусть такая точка находится между зарядами q₁ и q₂ на расстоянии х от заряда q_1. При отклонении заряда q₃ от этой точки вправо или влево возникающее неравенство сил со стороны зарядов q₁ и q₂ будет неизменно возвращать заряд q₃ в положение равновесия. Рассмотрим теперь случай отклонения заряда q₃ перпендикулярно линии АВ. В этом случае, если заряд положительный, при отклонении его вверх или вниз от положения равновесия силы отталкивания его зарядами q₁ и q₂ создадут равнодействующую, отбрасывающую заряд от линии АВ, на которой находится точка равновесия. Следовательно, при q₃>0 положение равновесия не будет устойчивым. Если заряд q₃ отрицательный, то при его отклонении вверх или вниз от положения равновесия силы притяжения его зарядами q₁ и q₂ создают равнодействующую силу, возвращающую заряд q₃ на линию АВ. В этом случае равновесие заряда устойчивое [2].

При равновесии заряда q₃ силы F₁ и F₂,действующие со стороны зарядов q₁ и q₂, равны между собой:

F₁ = F₂. (1)

Выразив F₁ и F₂ из закона Кулона, получим

, или .

Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, имеем

.

Откуда

. (2)

Вычислим искомое расстояние:

.

Ответ: Точка, в которую нужно поместить заряд q₃,находится на расстоянии 8,5 см от заряда q_{1 .}

Пример 3. Два заряда q₁ = 9 нКл и q₂ = –7 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 20 см. Определить напряжённость и потенциал электрического поля в третьей вершине треугольника.

Дано: q1 = 9 нКл = 9·10-9 Кл; q2 = –7 нКл = –7·10-9 Кл; a = 20 см = 0,2м; β = 60o. Найти: Е, j.

Рис. 3

Решение: По принципусуперпозиции полей напряжённость электрического поля в точке А (рис. 3) равна геометрической (т.е. векторной) суммой напряжённостей и полей, создаваемых зарядами q₁ и q₂ соответственно:

.

Модуль результирующей напряжённости найдём по теореме косинусов, как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и

(1)

Напряжённость электрического поля точечного заряда выражается формулой

, (2)

где q – заряд, создающий поле; k – коэффициент пропорциональности в законе Кулона; r – расстояние от заряда до рассматриваемой точки поля.

Так как r = r₁ = r₂ = a, то имеем

, . (3)

Подставив (3) в (1), получим

. (4)

Вычислим напряженность поля в точке А

.

Потенциал электрического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов j₁ и j₂ полей, создаваемых зарядами q₁ и q₂ соответственно:

j = j₁ + j₂. (5)

Потенциал поля точечного заряда

. (6)

В формуле (6) обозначения те же, что и в формуле (2). Подставив (6) в (5) и учитывая, что r = r₁ = r₂ = а, получим

. (7)

Подставим числовые значения величин в (7) и определим результирующий потенциал в точке А: .

Ответ: Е = 1,84 кВ/м; j = 90 B.

Пример 4. Электростатическое поле создано двумя заряженными пластинами с зарядами q₁ = 16 нКл, q₂ = –4нКл. Площади пластин
S₁ = S₂ = 0,04 м², расстояние между ними d = 0,5 см. Определить напряжённость поля, между пластинами и вне их. Построить график изменения напряжённости вдоль оси, перпендикулярной пластинам, считая напряжённость положительной, если её вектор направлен слева направо. Найти разность потенциалов между пластинами U.

Дано: q1 = 16 нКл = 16·10-9Кл; q2 = - 4 нКл = - 4· 10-9 Кл; S1 = S2 =0,04м2; d = 0,5 см = 5·10-3м. Найти: ЕI; EII; EIII; U.	Рис. 4
Решение: На рис. 4а изображены заряженные пластины и силовые линии полей: сплошные – силовые линии первой пластины, пунктирные – второй пластины. Напряжённости электрических по-лей, создаваемых пластинами, которые считаем бесконечно большими равномерно заряженными плоскостями, соответственно равны: , , (1)

где s₁ и s₂ – поверхностные плотности зарядов пластин; e_o = 8,85×10^–12 Ф/м – электрическая постоянная.

По определению:

, . (2)

Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от присутствия другой

. (3)

Плоскости делят всё пространство на три области: I, II, III. Как видно из рис. 4а, в первой и третьей областях векторы и направлены в противоположные стороны. В проекции на ось Ох напряженности полей в I и III областях соответственно равны:

, (4)

. (5)

Между пластинами силовые линии полей направлены в одну сторону, следовательно:

. (6)

Подставим числовые значения в (4), (5), и (6) и вычислим напряжённости результирующего поля вне и между пластинами:

,

, .

График распределения напряжённостей суммарного поля представлен на рис. 4б.

Напряжённость однородного электрического поля связана с разностью потенциалов между пластинами соотношением

. (6)

Откуда

. (7)

Определим значение разности потенциалов между пластинами:
U = 28,3 × 10³ × 5 × 10^-3В = 141 В.

Ответ: E^I = –17 кВ/м; E^III = 17 кВ/м; Е^II = 28,2 кВ/м; U = 141 В.

Пример 5. Четыре одноимённых точечных заряда величиной q расположены в вершинах квадрата со стороной а. Какую работу надо совершить, чтобы поместить их в вершины тетраэдра с ребром, равным а?

Дано: q; а. Найти: А.

а) б) Рис. 5

Решение: Потенциальная энергия системы зарядов равна сумме энергий попарно взаимодействующих зарядов. Для первой конфигурации зарядов (рис. 5а) потенциальная энергия

W^I = W_1,2 + W_1,3 + W_1,4 + W_2,3 + W_2,4 +W_3,4. (1)

По условию задачи q₁ = q₂ = q₃ = q₄, поэтому

, (2)

. (3)

Следовательно,

. (4)

Для второй конфигурации (рис. 5б) потенциальная энергия взаимодействия зарядов

W^II = W_1,2 + W_1,3 + W_1,4 + W_2,3 + W_2,4 + W_{3,4 .} (5)

Так как расстояния между вершинами в тетраэдре одинаковые и равны а, то

. (6)

Работа по перемещению зарядов из одной конфигурации в другую равна разности потенциальных энергий

. (7)

Подставив в (7) выражения (4) и (5), получим:

.

Ответ: .

Пример 6. Шарик массой m = 1 г перемещается из точки 1, потенциал которой φ₁ = 600 B, в точку 2, потенциал которой равен нулю. На сколько изменилась при этом скорость шарика, если в точке 2 его скорость возросла до u₂ = 20 см/с. Заряд шарика q = 10 нКл.

Дано: m = 10-3 кг; u2 = 20 см/с = 0,2 м/с; j1 = 600 B; j2 = 0; q = 10 нКл = 10-8 Кл. Найти:Δ u = u2 - u1.

Решение: На заряженный шарик при его движении в электрическом поле со стороны поля действует сила, работа которой равна изменению кинетической энергии шарика

А = Δ W_к. (1)

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда из точки с потенциалом j₁ в точку с потенциалом j₂:

. (2)

Изменение кинетической энергии шарика

. (3)

Следовательно, уравнение (1) можно привести к виду

, (4)

тогда

. (5)

Подставив числовые значения величин в (5), получим

.

Изменение скорости шарика Δ u = u₂ - u₁ = 0,03 м/c.

Ответ: Скорость шарика увеличилась на 0,03 м/с.

Пример 7. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 10 см, заряжен до разности потенциалов
U₀ = 250 В и отключен от источника. Площадь его пластин S = 100 см². Определить заряд конденсатора. Во сколько раз изменятся ёмкость, разность потенциалов, энергия конденсатора, если в пространство между пластинами внести стеклянную пластинку толщиной d₂ = 8 см и прижать её к одной из пластин конденсатора?

Дано: d = 10 см = 0,1 м; U0 = 250 B; S = 100 см2 = 10-2 м2; d2 = 8 см = 0,08 м; e1 = 1; e2 = 6. Найти: q; C/Co; U/Uo; W/Wo.

а) б) Рис. 6

Решение: По определению электроёмкость конденсатора равна отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между пластинами:

. (1)

Зависимость ёмкости плоского конденсатора от его размеров выражается формулой

, (2)

где e₁ = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха; e_o = 8,85∙10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

Из формул (1) и (2) находим искомый заряд

. (3)

С учётом числовых значений заряд конденсатора

.

Если параллельно обкладкам плоского конденсатора ввести слой диэлектрика, частично заполняющего воздушную прослойку, и прижать к одной из пластин, то полученную систему можно рассматривать как два соединённых последовательно конденсатора ёмкостями С₁ и С₂. Диэлектрик одного конденсатора – воздух толщиной d₁ = 0,02 м. Диэлектрик другого конденсатора – стеклянная пластинка с диэлектрической проницаемостью e₂ = 6 и толщиной d₂ = 0,08 м.

Ёмкость двух последовательно соединённых конденсаторов

. (4)

Подставляя в формулу (4) выражения и , получим:

. (5)

Из формулы (5) видно, что изменение типа диэлектрика и расстояния между пластинами конденсатора приводит к изменению его ёмкости. Разделив выражение (5) на (2) и подставив числовые значения, имеем .

Ёмкость конденсатора увеличилась в 3 раза.

Из формулы (1) находим разности потенциалов для начального и конечного состояний конденсатора , , откуда

.

Напряжение на конденсаторе уменьшается в 3 раза.

Энергия поля конденсатора в его начальном и конечном состояниях выражается формулами:

, . (6)

Отношение энергий

. (7)

Энергия конденсатора уменьшается в 3 раза.

Ответ: q = 0,2 пКл; ёмкость конденсатора увеличилась в 3 раза; напряжение на конденсаторе и его энергия уменьшились в 3 раза.

Пример 8. Три одинаковых источника тока с эдс e = 1,5 В каждый соединены параллельно и создают в цепи ток I = 1 А. Определить коэффициент полезного действия h батареи, если внутреннее сопротивление каждого источника тока r₁=r₂ =r₃= r = 0,3 Ом.

Дано: e = 1,5 В; I = 1 A; r = 0,3 Ом. Найти: h.

Рис. 7

Решение: При параллельном подключении одинаковых источников тока электродвижущая сила батареи равна эдс одного источника, общее сопротивление r_б определяем по формуле

. (1)

Поскольку r₁ = r₂ = r₃ = r, формулу (1) можем записать в виде

r_б = r / 3. (2)

Батарея источников тока замыкается потребителем электроэнергии, сопротивление которого R. На основании закона Ома для замкнутой цепи

. (3)

Отсюда

, (4)

где U – разность потенциалов на зажимах батареи источников тока.

Из выражения (4) найдём

. (5)

Коэффициент полезного действия батареи

, (6)

где N₁ = I×U – полезная мощность тока в потребителе; N = I×ε – полная (затраченная) мощность батареи.

С учётом (2) и (5) формула (6) примет вид

(7)

Следовательно, .

Ответ: η = 93%.

Пример 9. Электродвигатель работает в сети с напряжением
U = 120 В. Номинальная мощность двигателя N = l,2 кВт, коэффициент полезного действия η = 75 %. Определить силу тока, потребляемую двигателем, и сопротивление его обмоток.

Дано: U = 120 B; N = 1,2 кВт = 1,2·103 Вт; h = 75 %. Найти: I, r.

Решение: Мощность двигателя

N = IU, (1)

где I – сила тока, потребляемая двигателем.

Отсюда

. (2)

Подставим значения величин в расчётную формулу и вычислим силу тока .

Коэффициент полезного действия двигателя

, (3)

где N₁ – полезная мощность, N₂ – мощность, расходуемая на нагревание обмоток двигателя.

Мощность потерь

, (4)

где r – сопротивление обмоток.

На основании формулы (4) равенство (3) примет вид

.

Откуда

. (5)

Рассчитаем сопротивление обмотки электродвигателя .

Ответ: I = 10 A; r = 3 Ом.

Пример 10. Предохранитель изготовлен из свинцовой проволоки сечением S = 0,2 мм². Найти ток короткого замыкания, если предохранитель перегорел через 0,2 с. Начальная температура предохранителя
t₀ = 27 ^оС.

Дано: S = 0,2 мм2 = 2·10-5 м2; t = 0,2 с; to = 27 oC. Найти: Iкз.

Решение: По закону Джоуля-Ленца количество теплоты, выделяющееся в предохранителе за время t,

, (1)

где r = 21·10^-8 Ом·м – удельное сопротивление свинца, L – длина проволки.

Количество теплоты, необходимое для нагревания свинцового предохранителя до точки плавления,

, (2)

где с = 130 Дж/кг·^oС – удельная теплоёмкость свинца; D = 11300 кг/м³ – плотность свинца; Δ t – изменение температуры от t_o до температуры плавления t_пл = 327 ºC.

При перегорании предохранителя плавится очень короткий отрезок проволоки, поэтому количество теплоты, необходимое для плавления предохранителя, не учитываем.

Считая, что все количество теплоты, выделяющееся в предохранителе, идёт на его нагревание, можно написать:

Q₁ = Q₂ (3)

или, используя выражения (1) и (2), получим

откуда

(4)

Подставим числовые значения величин в (4) и вычислим ток короткого замыкания: .

Ответ: I_кз = 20 A.

Пример 11. Термопара (рис. 8) с сопротивлением r₁ = 6 Ом включена в цепь с гальванометром, сопротивление которого r₂ = 4 Ом. Чувствительность гальванометра (цена одного деления) I_o = 5∙10^-2 мкА. Какое минимальное изменение температуры позволяет определить термопара, если её постоянная k = 5∙10^-2 мВ/^oС?

Дано: r1 = 6 Ом; r2 = 4 Ом; Iо = 5·10-2 мкА = 5·10-8 А; k = 5·10-2 мВ/ºС = 5·10-5 В/ºС. Найти: ∆tmin.

Рис. 8

Решение: Минимальное изменение температуры, фиксируемое данным измерительным устройством, соответствует смещению стрелки гальванометра на одно деление.

Электродвижущая сила термопары, согласно принципу её действия, пропорциональна разности температур ∆t спаев:

. (1)

Согласно закону Ома для замкнутой цепи,

. (2)

При минимальном изменении температуры ток I = I_o. Из формул (1) и (2) получим

. (3)

Таким образом,

Ответ: ∆t_min = 0,01 ^oС.