Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ. ФОРМУЛА КОШИ




Интеграл от аналитической функции обладает замечательным свойством, сформулированным в теореме Коши.

Теорема Коши. Если – однозначная аналитическая функция в односвязной области , то интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру равен нулю:

(1)

Другими словами, интеграл от однозначной аналитической функции в односвязной области не зависит от пути интегрирования.

Пример 1. Интеграл по любой замкнутой кривой , так как функция является аналитической на всей комплексной плоскости. ?

Задача 1. Дана функция . Можно ли применить теорему Коши к интегралу , если а) б) в) . Ответ аргументируйте. Ответ: 1) можно; 2) нельзя; 3) нельзя.

В качестве положительного направления обхода замкнутого контура принимается направление, при котором область, ограниченная этим контуром, остается слева.

Так, если контур представляет собой окружность , то (против часовой стрелки) есть граница круга , а (по часовой стрелке) есть граница внешности круга, то есть области .

В случае многосвязной области (рис.1) ее полная граница состоит из внешнего контура и внутренних контуров . При положительном направлении обхода полной границы область все время остается слева, т. е. внешний контур обходится против часовой стрелки, а каждый внутренний – по часовой стрелке.

Рис.1

Теорема Коши для многосвязной области.

Пусть – аналитическая функция в многосвязной области с полной границей и непрерывна в замкнутой области . Тогда интеграл от функции по полной границе области равен нулю (обход границы совершается в положительном направлении):

(2)

Формулу (2) можно переписать в виде:

(3)

Значит, интеграл от функции по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам (каждый из контуров обходится против часовой стрелки).

В частности, пусть функция является аналитической на контурах , и в двухсвязной области , ограниченной этими Рис.2

контурами (рис.2). Тогда из (3) получаем

. (4)

В этом случае интеграл независимо от формы кривой интегрирования сохраняет постоянное значение.

Пример 2. Показать, что если произвольный замкнутый контур, не проходящий через точку , и – целое число, то

Решение. При подынтегральная функция является аналитической и интеграл равен нулю в силу теоремы Коши (независимо от взаимного расположения точки и контура ).

При подынтегральная функция имеет вид , где Пусть точка находится вне контура , тогда функция является аналитической внутри этого контура. И в этом случае справедлива теорема Коши – интеграл равен нулю.

Осталось рассмотреть интеграл , когда точка находится внутри контура , то есть в точке нарушается аналитичность подынтегральной функции. Выбросим из области круг , граница которого лежит внутри контура . Функция аналитична и на контуре , и на окружности , а также в двухсвязной области, ограниченной этими контурами. Значит, интеграл в силу формулы (1) сохраняет постоянное значение, которое можно найти, принимая за контур интегрирования окружность : .




 

В примере 3 предыдущего параграфа было показано, что такой интеграл не зависит ни от радиуса окружности, ни от точки , интеграл равен нулю при и равен при . Все возможные случаи исчерпаны. ?

Аналитичность функции налагает на нее такие жесткие условия, что информации о поведении функции на некоторой замкнутой кривой в области аналитичности достаточно, чтобы определить значение функции в любой внутренней точке области – этот факт отражен в интегральной формуле Коши.

Интегральная формула Коши

(5)

позволяет вычислить значение функции в любой точке области ее аналитичности , если известны значения этой функции на контуре , целиком лежащем в и содержащем внутри себя точку .

Интеграл, стоящий справа в формуле Коши, называется интегралом Коши.

В подынтегральном выражении первый множитель – это плотность интеграла Коши (значение на контуре функции , аналитической всюду в , во всяком случае, непрерывной на контуре ). Второй множитель – это ядро интеграла Коши (значение на контуре функции , которая теряет аналитичность в точке , если и является аналитической всюду в , если точка находится вне контура ).

Значит, интеграл Коши равен

(6)



Заметим, что в задачах обычно не подчеркивается разница между переменной интегрирования и точкой .

Пример 3. Вычислить интеграл , где контур .

Решение. Подынтегральная функция имеет две особые точки: и . Первая из них лежит внутри заданного контура интегрирования, а вторая – вне его.

Представим интеграл в виде:

.

Здесь в подынтегральной функции множитель представля-

 

ет собой аналитическую внутри контура и на нем функцию – это плотность интеграла Коши. Множитель – ядро интеграла Коши (аналитичность нарушается во внутренней точке ). Согласно формуле (6)

. ?

Задача 2. Вычислить интеграл , если а) точка лежит внутри контура , а точка вне его; б) точка лежит внутри контура , а точка вне его; в) обе особые точки лежат вне контура . Ответ: а) б) в) 0.

Пример 4. Вычислить интеграл , если контур .

Решение. Подынтегральная функция имеет две особые точки и , причем обе они лежат внутри заданного контура . Непосредственно формулу (6) применить нельзя.

1 способ. Представим дробь в виде суммы элементарных дробей и воспользуемся линейным свойством интеграла:

Плотность каждого из полученных интегралов Коши , ядро первого интеграла , ; второго – , . Значит, .

Тогда

.

2 способ. Проведем произвольно линию между точками и , разделяющую область на части и (рис.3) так, что , . При этом контур разбивается на части и . Область с границей содержит внутри единственную особую точку , значит,

.

 

Область с границей содержит единственную особую точку , значит,

.

Складываем оба результата. С учетом аддитивности интеграла получаем

.

Но интегралы по и по взаимно уничтожаются, поэтому

.?

Задача 3. Вычислить интеграл , если обе особые точки и лежат внутри контура . Ответ: 0.

Если контур представляет собой окружность радиуса с центром в точке , ( ), то замена позволяет получить из формулы Коши теорему о среднем:

.

То есть значение аналитической функции в центре круга равно среднему арифметическому из ее значений на окружности этого круга.

Из аналитичности функции в точке , то есть из существования ее первой производной в некоторой окрестности этой точки, и интегральной формулы Коши следует существование в окрестности той же точки производных любого порядка данной функции, причем

(7)

Пример 5. Вычислить интеграл , если – замкнутый контур, обходящий точку .

Решение. Положим в формуле (3) , тогда

.

Сопоставляя с заданным интегралом, видим, что и , т.е.

?.

 

Задача 4. Вычислить интеграл , если – замкнутый контур, содержащий внутри точку (воспользоваться формулой (7)). Сравнить результат с примером 2. Ответ:





Дата добавления: 2015-05-13; просмотров: 15363; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 7991 - | 6864 - или читать все...

Читайте также:

 

3.80.128.196 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.008 сек.