Теорема Абеля

Функциональный ряд

(1)

сходится в области , если при любом соответствующий этому значению числовой ряд является сходящимся.

Пусть ряд (1) сходится в области , тогда функция , значение которой в каждой точке равно сумме соответствующего числового ряда, называется суммой ряда (1) в области .

Если ряд (1) сходится в , то для любой фиксированной точки и для любого можно указать такой номер , начиная с которого для всех выполняется неравенство

Если обозначить – остаток ряда, то неравенство принимает вид при . Запись подчеркивает, что номер , вообще говоря, не является одинаковым для всех точек области сходимости ряда.

Определение. Если для любого можно указать такой номер , что при неравенство выполняется сразу для всех точек , то ряд (1) называется равномерно сходящимся в области .

Если члены ряда (1) являются аналитическими функциями в односвязной области и ряд сходится в этой области равномерно, то сумма ряда также является функцией, аналитической в области (теорема Вейерштрасса). В этом случае ряд можно дифференцировать почленно сколько угодно раз.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда . Найти сумму этого ряда.

Решение. Формула для суммы членов геометрической прогрессии

(2)

справедлива при любом комплексном . Так как , если и , если , то получаем

Но сумма (2) является частичной суммой заданного ряда. Значит, заданный ряд

(3)

сходится внутри круга и сумма этого ряда равна

Вне единичного круга (при ) этот ряд расходится. На окружности ряд (3) также расходится, так как – не выполнено необходимое условие сходимости.

Заметим, что в круге , ряд (3) сходится равномерно. ☻

Ряд вида

, (4)

где – комплексные постоянные, называется степенным рядом (с центром в точке ).

Основной теоремой теории степенных рядов является

Теорема Абеля. Если степенной ряд (4) сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно во всех точках , для которых . В замкнутой области ряд сходится равномерно.

Геометрически: если ряд (4) сходится в точке , то он сходится абсолютно в круге с центром в точке радиуса , причем в круге этот ряд сходится равномерно. Если же ряд расходится в некоторой точке , то он расходится и при любых , для которых .