Примеры решения задач. Пример 1. По двум длинным прямолинейным параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 8 см

Пример 1. По двум длинным прямолинейным параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 8 см, в одном направлении текут токи I₁ = 3 А, I₂ = 5 А. Найти магнитную индукцию поля в точке А, которая находится на линии, соединяющей проводники, на расстоянии r₁ = 2 см от первого проводника.

Дано: I₁ = 3 А; I₂ = 5 А; d = 8 см = 8∙10^-2 м; r₁ = 2 см = 2∙10^-2 м. Найти: В_А.	а) б)
Рис. 1

Решение: На рис. 1а токи I₁ и I₂ текут по параллельным проводникам в одном направлении перпендикулярно плоскости чертежа, от нас. Каждый из токов создаёт магнитное поле, силовые линии которого – окружности. Их направление связано с направлением тока в проводнике правилом буравчика (рис. 1б).

Согласно принципу суперпозиции результирующая индукция магнитного поля в точке А равна векторной сумме индукций и полей, создаваемых каждым током в отдельности,

. (1)

С учётом направления векторов и в точке А сумма их проекций на ось Оу

B_А = B₁ - B₂. (2)

Значения индукций В₁ и В₂ в данной точкевыражаются соответственно формулами:

, (3)

, (4)

где m₀ = 4 π ∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная; m = 1 – магнитная проницаемость вакуума и воздуха.

Подставив выражения (3) и (4) для В₁ и В₂ в равенство (2), получим

. (5)

Вычислим искомую индукцию:

Ответ: В_А = 13,4 мкТл.

Пример 2. Определить индукцию В магнитного поля и магнитный момент P_m в центре кругового проводящего витка при разности потенциалов на его концах U = 10 В, если сопротивление проволоки витка
R = 0,5 Ом, его диаметр d = 20 см.

Дано: R = 0,5 Ом; U = 10 В; d = 20 см = 0,2 м. Найти: B, P_m.
Рис. 2

Решение: На рис. 2 показаны направления векторов в центре кругового витка с током, найденных по правилу буравчика.

Индукция магнитного поля в центре витка определяется по формуле

, (1)

где I – сила тока; m₀ = 4π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная; m = 1 – магнитная проницаемость вакуума и воздуха; r – радиус витка.

По закону Ома для участка цепи сила тока в витке

. (2)

Подставляя (2) в (1), получим расчётную формулу для В:

. (3)

Вычислим индукцию в центре витка с током по формуле (3) .

Магнитный момент P_m витка с током I находим по формуле

P_m = I∙S, (4)

где – площадь витка.

Следовательно,

. (5)

Вычислим магнитный момент:

Ответ: B = 125,6 мкТл; P_m = 0,63 А∙м².

Пример 3. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником так, что две её стороны параллельны проводнику. По проводнику и рамке текут одинаковые токи
I = I_р = 1 кА. Определить силу, действующую на рамку, если ближайшая к проводнику сторона рамки находится на расстоянии, равном её длине. Деформацией рамки пренебречь.

Дано: I = I_р = 1 кА = 10³ А; r₁ = a; r₂ = 2 a. Найти: F.

Рис. 3

Решение: Длинный прямой проводник с током I создаёт магнитное поле, индукция B которого определим по формуле

, (1)

где m_o – магнитная постоянная; r – расстояние от прямого проводника.

Согласно формуле (1) поле прямого проводника является неоднородным и ослабевает при удалении от проводника. Графически поле такого проводника изображается силовыми линиями в виде окружностей, направление которых определяется по правилу правого винта (в данном случае – по часовой стрелке) [3]. Вектор магнитной индукции в каждой точке к силовой линии направлен по касательной. Следовательно, справа от прямого проводника векторы магнитной индукции направлены перпендикулярно плоскости чертежа, к нам (рис. 3).

На каждый элемент длины рамки АВСD, расположенной в магнитном поле проводника с током I, действует сила Ампера

d F_A= I_р∙B∙ d l sin a, (2)

где a – угол между направлениями и (для всех элементов рамки a = 90^o).

Направление сил Ампера, действующих на стороны АВ, ВС, CD, AD, определяются по правилу левой руки (рис. 3).

Сила F₁, действующая на сторону АD, на основании формул (1) и (2) определяется следующим образом:

. (3)

Аналогично получается формула для силы F₂, действующей на сторону ВС, удалённую от прямого проводника на расстояние r₂:

. (4)

Силы и , действующие на стороны АВ и СD рамки, направлены в противоположные стороны, равны по величине и скомпенсированы, так как стороны АВ и СD расположены одинаково относительно прямого проводника.

Равнодействующая всех сил, приложенных к рамке,

.(5)

Значение силы .

Ответ: F = 0,1 Н.

Пример 4. В масс-спектрометре пучок ионов проходит ускоряющую разность потенциалов U = 10 кВ и попадает в однородное поперечное магнитное поле с индукцией В = 100 мТл. Направление вектора скорости после прохождения магнитного поля по дуге окружности меняется на противоположное. Найти расстояние между входной щелью приёмника и выходной щелью ускоряющей камеры. Отношение заряда иона q к его массе m (удельный заряд) считать известным и равным
q/m =3,2∙10⁷ Кл/кг. Действием силы тяжести пренебречь, считать начальную скорость ионов u_o = 0.

Дано: U = 10 кВ = 10⁴В; В = 100 мТл = 0,1 Тл;

. u_o = 0. Найти: d.

Рис. 4

Решение: При прохождении ускоряющей разности потенциалов U работа сил электростатического поля приводит к изменению кинетической энергии ионов:

. (1)

С учётом того, что скорость, с которой ионы влетают в магнитное поле, u₀ = 0:

. (2)

Со стороны магнитного поля на движущиеся ионы действует сила Лоренца

, (3)

где a = 90^о – угол между векторами и .

Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки (рис. 4). Так как вектор силы перпендикулярен вектору скорости , то модуль скорости не изменяется. Сила Лоренца сообщает ионам центростремительное ускорение:

. (4)

Тогда

, (5)

где R – радиус кривизны траектории.

Используя формулу (2), получим

. (6)

По условию задачи направление вектора скорости при попадании на фотопластинку приёмника противоположно направлению скорости при входе в магнитное поле. Поэтому искомое расстояние d = 2R.

Формула для d имеет вид: . (7)

Отсюда .

Ответ: d = 50 см.

Пример 5. На квадратную рамку со стороной а = 10 см, помещенный между полюсами постоянного магнита, действует максимальный механический момент М_max = 6,5 мкНм, если в рамке сила тока I = 2 А. Определить магнитную индукцию В между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

Дано: а = 10см = 0,1 м; М_max = 6,5 мкНм = 6,5∙10^-6 Нм; I = 2 А. Найти: В.

Рис. 5

Решение: На рис. 5 изображена рамка с током (ток направлен по часовой стрелке) в магнитном поле магнита. На стороны fb и cd действуют силы Ампера и , равные по величине, противоположные по направлению и создающие вращающий момент М относительно
оси ОО¢:

M = P_m B sin a, (1)

где P_m – магнитный момент рамки с током; a – угол между векторами и .

Вектор в центре рамки направлен перпендикулярно чертежу (по правилу буравчика), от нас, и его модуль

, (2)

где S = а² – площадь рамки.

Вращающий момент принимает максимальное значение при a = 90^o

M_max = P_m∙B = = I a² B. (3)

Откуда

. (4)

Магнитная индукция поля магнита .

Ответ: В = 32,5 мкТл.

Пример 6. Катушка длиной l = 50 см и площадью сечения S = 30 см² имеет 12 витков на 1 см длины. Индукция магнитного поля в катушке
В = 8 мТл. Определить: силу тока I; индуктивность L; энергию магнитного поля W катушки.

Дано: l = 50см = 0,5 м; S = 30 cм² = 3∙10^-3 м; n = 12 см^-1 = 1200 м^-1; В = 8 мТл = 8∙10^-3 Тл. Найти: I; L; W.

Рис. 6

Решение: На рис. 6 показано направление тока в катушке, а также направление силовых линий созданного током магнитного поля. Для длинного соленоида, каковым является предлагаемая катушка с током, индукция магнитного поля

В = m_om n I, (1)

где m_o = 4π∙10^-7 Гн/м – магнитная постоянная; m – магнитная проницаемость среды (сердечника), для воздуха m = 1; n – плотность витков.

Из формулы (1) имеем

. (2)

Определим значение силы тока в катушке:

Индуктивность соленоида находим по формуле

. (3)

Отсюда L = 4∙3,14∙10^-7∙1,2²∙10⁶∙3∙10^-3∙0,5 Гн = 2,7 мГн.

Энергия магнитного поля катушки:

. (4)

Величина энергии .

Ответ: I = 5,3 А; L = 2,7 мГн; W = 38 мДж.

Пример 7. В однородном магнитном поле, индукция которого
В_о = 250 мТл, находится плоская катушка радиусом R = 25 см, содержащая N = 75 витков. Плоскость катушки составляет угол g = 60⁰ с направлением вектора индукции. По виткам течёт ток силой I = 3 А. Определить магнитный поток Ф_о и потокосцепление y_о в катушке. Какую работу надо совершить, чтобы удалить катушку из магнитного поля?

Дано: В_о = 250 мТл = 0,25 Тл; N =75 витков; R = 25 см = 0,25 м; g = 60^o; I = 3 А; В = 0. Найти: Ф_о; y_о; А_внеш.

Рис. 7

Решение: В случае однородного магнитного поля магнитный поток через плоский контур площадью S определяется по формуле

Ф_о = В_о S cos a, (1)

где a – угол между вектором нормали к плоскости контура и вектором , S = π R² – площадь одного витка.

Согласно рис. 7

. (2)

Учитывая (2), формула (1) примет вид

. (3)

Отсюда .

Потокосцепление, т.е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками катушки,

y_о = N Ф_о. (4)

Следовательно, y_о = 75∙0,042 = 3,15 Вб.

Работа магнитного поля по перемещению катушки определяется формулой

А = I (y – y_о). (5)

Чтобы удалить катушку из поля, к ней надо приложить внешнюю, например, механическую силу, работа которой

А_внеш = – А = I (y_о– y), (6)

где y = 0, так как В = 0.

Подставляя y_о и y в формулу (6), получим А_внеш = 9,45 Дж.

Ответ: Ф_о = 42 мВб; y_о = 3,15 Вб; А_внеш = 9,45 Дж.

Пример 8. В однородном магнитном поле индукцией В = 100 мТл равномерно вращается с частотой n = 10 с^-1 рамка, содержащая
N = 1000 витков. Площадь рамки S = 150 см². Определить амплитудное значение эдс ε_max и мгновенное значение эдс ε, соответствующее углу поворота рамки a = 30⁰.

Дано: В = 100 мТл = 0,1 Тл; N =1000; S = 150 см²= 15∙10^-3 м²; a = 30^o; n = 10 с^-1. Найти: ε; ε_max.

Решение: При вращении рамки площадью S в магнитном поле индукцией В поток Ф изменяетсяпо закону

Ф = В S cos wt, (1)

где – угловая скорость.

Мгновенное значение эдс индукции ε определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея–Максвелла

, (2)

где y = N Ф – потокосцепление.

Следовательно,

. (3)

Подставив (1) в (3), получим выражение для мгновенного значения эдс, наведённой в рамке,

. (4)

Амплитудное значение эдс e_max найдём из выражения (4):

ε_max∙= 2 π nNBS. (5)

Отсюда ε_max∙= 2∙3,14∙1000∙0,1∙15∙10^-3∙10 В = 94,2 В.

Мгновенное значение эдс индукции при a = 30^o

Ответ: ε = 47,1 В; ε_max∙= 94,2 В.

Пример 9. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле
индукцией В = 40 мТл. Нормаль к плоскости рамки составляет угол
a = 30^o с линиями магнитной индукции. Определить заряд q, который пройдёт по рамке, если магнитное поле выключить.

Дано: В = 40 мТл = 4∙10^-2 Тл; R = 10 мОм= 10^-2 Ом; a = 30^o; а = 5 см = 5∙10^-2 м. Найти: q.

Рис. 9

Решение: В начальный момент временизначение магнитного потока через рамку

Ф₁ = В×S cos a= B×a² cos a. (1)

При выключении магнитного поля произойдёт изменение магнитного потока от значения Ф₁ до значения Ф₂ = 0. Вследствие этого в рамке возбуждается эдс, определяемая основным законом электромагнитной индукции:

. (2)

В рамке возникнет кратковременный ток (его направление указано на рис. 9 согласно правилу Ленца). Мгновенное значение силы тока находим по закону Ома для замкнутой цепи

. (3)