Рекурсивные цифровые фильтры

Находят широкое применение при обработке относительно коротких дискретных последовательностей.

Рекурсивными фильтрами называются фильтры, в которых каждая выборка выходного сигнала формируется как взвешенная сумма некоторых предшествующих входных и выходных выборок.

Разностное уравнение такого фильтра

(1)

где - количество отсчётов выходного сигнала в предшествующие моменты порядок рекурсивного фильтра.

Структурная схема алгоритма фильтрации.

Принципиальное различие между трансверсальным и рекурсивным фильтрами заключается в свойствах их импульсных характеристик. В рекурсивном цифровом фильтре благодаря обратной связи число отсчётов теоретически бесконечно. БИХ – фильтрации.

Определим передаточную функцию рекурсивного цифрового фильтра.

Применим к разностному уравнению (1) преобразование Лапласа:

(2)

откуда следует, что (3)

где - число предшествующих входных отсчётов, - число предшествующих выходных отсчётов.

Полученную функцию можно трактовать как передаточную функцию каскадного соединения двух фильтров: одного с передаточной функцией (4) и вторую с передаточной функцией (5)

Таким образом (6)

Такому представлению соответствует каноническая схема трансверсального фильтра.

Применим - преобразование к передаточной функции (3) получим (7)

Фильтр осуществим при . Чтобы определить устойчив фильтр необходимо определить полюса функции (7). Фильтр устойчив если полюса функции расположены в плоскости единичного круга на плоскости .