2015-05-13
1654
Векторным полем называют часть пространства, каждой точке 
которого ставится в соответствие вектор 
. В декартовых координатах 
,
где 
– проекции 
на координатные оси.
Геометрически векторное поле можно изобразить векторными линиями (это кривые, в каждой точке которых касается этих линий) Дифференциальные уравнения векторных линий
.
Определение. Потоком векторного поля 
через поверхность 
называют поверхностный интеграл
, (53)
где 
– единичный вектор нормали к , указывающий избранную сторону поверхности. С учетом 
, 
, получим формулы для вычисления потока
Если 
представляет поле скоростей текущей жидкости, то П равен количеству жидкости, протекающей через за единицу времени.
Предел отношения потока векторного поля через замкнутую поверхность к объему, ограниченному , когда стягивается в точку 
, называют дивергенцией (или расходимостью) поля в точке :
.
В декартовых координатах:
(54)
Поток через замкнутую поверхность можно вычислить по формуле Остроградского–Гаусса: 
(55)
Определение. Криволинейный интеграл вектора 
вдоль замкнутой кривой 
называют циркуляцией вектора по этой кривой.
, (56)
где 
касательный к , 
.
Если – сила, действующая на материальную точку, – траектория этой точки, то 
– составляющая , равна силе, направленной по касательной и действующей на элемент контура 
, тогда 
– суммарная сила, действующая на весь контур и направленная так, что каждую точку контура она стремится сдвинуть по касательной к контуру в этой точке, то есть циркуляция поля силы характеризует вращательную способность поля на контуре.
Определение. Плотностью циркуляции в точке 
в данном направлении 
называют предел отношения циркуляции поля по контуру , окружающему точку и лежащему в плоскости 
, к площади 
, ограниченной , когда контур стягивается в точку 
:
Определение. Ротором поля в данной точке называют вектор проекция которого на любое направление равна плотности циркуляции поля в данной точке по тому же направлению.
В координатной форме
(57)
Циркуляцию можно вычислить по формуле Стокса
, (58)
где 
– поверхность, натянутая на контур .
В координатной форме
