2015-05-13
319
- Интегралы с бесконечными пределами.
Пусть функция 
определена и непрерывна при всех значениях 
таких, что 
. Рассмотрим 
, который имеет смысл при любом значении 
и меняется при изменении 
, т.е. является функцией от .
Если существует конечный предел
,
то этот предел называют несобственным интегралом от функции на промежутке 
и обозначают символом 
.
Таким образом, по определению
. (3.5)
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же в (3.5) предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что расходится.
Несобственный интеграл при 
на промежутке имеет следующий геометрический смысл: если определяет площадь области, ограниченной кривой 
, осью абсцисс и прямыми 
и 
, то считают, что определяет площадь неограниченной (бесконечной) области, заключенной между линиями , и осью абсцисс (рис.3.9).
Рис.3.9.
Аналогично определяются несобственные интегралы и для других бесконечных промежутков.
По определению
.
Определение сходимости, расходимости для этих интегралов такое же, как и для интеграла (3.5).
Пример 3.4. Исследовать на сходимость несобственный интеграл.
а) 
; б) 
.
