2015-05-13
367
а) 
.
Следовательно, интеграл расходится.
Вспомогательные вычисления.
;
б) 
.
Интеграл расходится.
▶ Исследовать сходимость несобственных интегралов.
а) 
; б) 
; в) 
.
Ответы: а) расходится; б) сходится; в) сходится.
2. Интегралы от неограниченных функций.
Рассмотрим функцию 
, заданную на отрезке 
и такую, что она ограничена и интегрируема на каждом промежутке 
и неограниченна на отрезке 
. Точку 
в этом случае называют особой точкой функции .
По определению
(особая точка ). (3.6)
Если предел в равенстве (3.6) существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция называется интегрируемой на отрезке .
Если же предел бесконечен или не существует, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл от неограниченной функции , если особой точкой является нижний предел интегрирования 
или точка 
, лежащая внутри отрезка 
:
(особая точка );
(особая точка ).
Сходимость и расходимость этих несобственных интегралов определяется так же, как и для интеграла (3.6).
► Запишите определение несобственного интеграла с бесконечными пределами и несобственного интеграла от неограниченной функции.
► В каком случае несобственный интеграл называется сходящимся?
Пример 3.5. Исследовать сходимость несобственных интегралов.
а) 
; б) 
.
