Разберите решения следующих примеров

Глава I. Элементы теории множеств

Л.М.Мартынов. Вводный курс математики, стр.9-19

Вопросы для самопроверки

1. Какие термины для обозначения многого как единого целого имеются в русском языке? Множество – это совокупность объектов (предметов или понятий), которая мыслится как единое целое. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.

2. Верна ли запись: 1 да, 2 нет

3. Принадлежит ли число 9 множеству ? да

4. Верно ли включение ? нет

5. Какое из множеств (1;4) и [1;4] включается в другое? 1 включает 2

6. Можно ли записать да

7. Какая из записей верна: ? оба

8. Сколько элементов содержат множества: ? 3

9. В каком случае

10. Что означает запись х не принадлежит пересечению а и в

11. Когда выполняется равенство если а=в симметрическая разность

12. Что означает запись х не принадлежит разности а и в

13. Когда возможно равенство

14. Как проще записать множество

15. Если R–универсальное множество, то каково дополнение множества

16. В каком случае возможно равенство

Разберите решения следующих примеров

П р и м е р 1. Задайте перечислением следующие множества:

a) всех целых делителей числа 16;

б)

в) .

Решение. a) Так как натуральными делителями числа 16 являются числа 1,2,4,8,16, то искомым множеством будет {–16, –8, –4, –2, –1, 1, 2, 4, 8, 16}.

б) Так как целыми делителями числа 24 являются числа , то, выбрав из них только четные, мы получим множество . Значит искомое множество .

в) Натуральных чисел, меньших 12, и при этом кратных 3 всего три: 3, 6, 9. Следовательно, искомое множество

П р и м е р 2. Принадлежит или включается множество А во множество В, если

a) ;

б)

Решение. a) Множество является подмножеством множества так как каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству: . Следовательно . Но в то же время множество являются элементом множества и поэтому .

б) Множество является подмножеством множества т.к. . Значит, .

П р и м е р 3. Найдите множество А^* всех подмножеств множества :

a) ;

б) ;

в) .

Решение.

a) ;

б) ;

в) .

П р и м е р 4. Справедливы ли утверждения:

a) ;

б) ;

в)

Решение. a) Множества и равны, так как объекты, входящие в состав этих множеств, то есть элементы , одинаковы и отличается только порядок записи этих элементов.

б) Множества и равны, так как каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству и, наоборот.

в) Так как элемент второго множеств не принадлежит первому множеству, то множества и не равны.

П р и м е р 5. Выяснить, какое множество является подмножеством другого:

а) и (0;3);

б) и (2;5];

в) и .

Решение. a) Так как = , а (0;3) – множество всех действительных , удовлетворяющих неравенству , то , то есть первое множество является подмножеством второго.

б) Ни одно из этих множеств не является подмножеством другого, поскольку в каждом из них есть элементы, не содержащиеся в другом, например, 2 и 5.

в) Множество является подмножеством потому, что при k =1 , а при k = –3 .

П р и м е р 6. Пусть , . Выяснить какие из чисел 1, 2, 3, 4, 5 принадлежат множествам .

Решение. Множества и можно задать перечислением элементов: , . Поэтому легко найти их объединение , пересечение , разность и ответить на вопрос задачи , , .

– дополнение множества , а значит , , . Множеству ни одно из чисел 1,2,3,4,5 не принадлежит.

П р и м е р 7. Доказать закон де Моргана .

Решение. Доказательство разбивается на две части.

1) Докажем, что если , то .

Пусть . По определению дополнения . Следовательно, или . Но тогда или , значит .

2) Докажем, что если , то .

Пусть . Тогда, по определению объединения или . По определению дополнения или . Следовательно, , то есть .

П р и м е р 8. Упростить запись множества, используя основные законы алгебры множеств:

a) ;

б) .

Решение. Используя равенства 1-12 (стр.15 учебного пособия Л.М.Мартынова), получим следующие преобразования:

a)

б)

П р и м е р 9. Доказать включение и проиллюстрировать его диаграммами Эйлера-Венна.

Решение. 1-й способ (универсальным методом).

Для доказательства включения необходимо показать, что любой элемент множества принадлежит множеству . По определению разности имеем и . Но если , то тем более , то есть , что и требовалось доказать.

2-й способ (с использование основных законов алгебры множеств). Преобразуем левую часть включения: . Теперь используем диаграммы Эйлера-Венна дли иллюстрации этого включения.

Левая часть включения изображается диаграммой на рис.1.

Рис. 1

Правая часть включения – диаграммой на рис. 2.

Рис. 2

П р и м е р 10. Доказать равенство и проиллюстрировать его диаграммой Эйлера-Венна.

Решение. Воспользуемся основными законами алгебры множеств:

.

Для иллюстрации доказанного равенства нарисуем последовательно несколько диаграмм, изображающих левую часть равенства (рис.3-8), а затем правую часть равенства (рис.9-11).

Рис. 3 Рис. 4

Рис. 5 Рис. 6

Рис. 7 Рис. 8

Несколько таких рисунков можно объединить в один, используя для штриховки цветные карандаши.

Правую часть равенства необходимо изобразить на отдельном рисунке, не меняя взаимного расположения множеств А, В, С.

Рис. 9 Рис. 10

Рис. 11

Сравнивая рисунки 8 и 11, мы видим, что они одинаковы. Это и является иллюстрацией доказанного равенства (но не доказательством!).

П р и м е р 11. Пусть А – множество решений уравнения В – множество решений уравнения . Выразите через А и В множество решений уравнений:

а) ;

б) и системы в)

Ответ: а) ; б) ; в) .

П р и м е р 12. Решить систему неравенств:

Решение. Множество решений первого неравенства . Решив второе неравенство методом интервалов, получим множество (–1;6). Чтобы получить Решение системы неравенств, найдём пересечение двух множеств . Геометрически это можно изобразить так:

Рис. 12

Пересечением множеств является множество точек, на котором штриховки накладываются друг на друга.

П р и м е р 13. Решить систему неравенств:

Решение. Раскрывая модуль в первом неравенстве системы, получим два случая. Учитывая второе неравенство, приходим к совокупности двух систем:

1) или 2)

Множество решений первой системы есть пересечение трех множеств: . Найдем пересечение первого и второго множества . Используя дистрибутивный закон пересечения относительно объединения, будем иметь: .

Теперь решим вторую систему из совокупности. Проводя аналогичные рассуждения, как и в первом случае, получим три множества: и . Найдем их пересечение: .

Множество решений исходной системы является объединением множеств и , то есть

П р и м е р 14. Из 20 человек двое изучали только английский язык, трое – только немецкий, шестеро – только французский. Никто не изучал трёх языков. Один изучал немецкий и английский, трое – французский и английский. Сколько человек изучало французский и немецкий языки?

Рис. 13

Решение. Обозначим через А множество учеников, изучавших английский язык, через В – немецкий язык, через С – французский язык.

По условию множество содержит один элемент, множество содержит 3 элемента, (никто не изучал сразу три языка). Требуется определить количество элементов в пересечении (рис. 13).

Объединение множеств содержит 20 элементов. Из диаграммы видно, что множество должно содержать 20–1–2–3–6–3=5 элементов.

Ответ: французский и немецкий языки изучали 5 человек.