Разберите решения следующих примеров. П р и м е р 1. Предложение: «Человек х — поэт» является предикатом

П р и м е р 1. Предложение: «Человек х — поэт» является предикатом. Сказуемое здесь: «быть поэтом».

Если предложение содержит одну переменную, оно называется одноместным предикатом.

Для обозначения одноместных предикатов используют символы: А(х), В(х), Р(х), Q2(х) и так далее.

Слово «предикат» происходит от латинского «ргеdicate» (сказуемое).

П р и м е р 2. Рассмотрим предложение: «2х – 4 > 0». Истинно оно или ложно? Мы не можем ответить на этот вопрос. Это не есть высказывание. Но если вместо х поставить некоторое число, например 3, то мы получим истинное высказывание: «2 ∙ 3 – 4 > 0». Если вместо х поставить 1, то мы получим ложное высказывание: «2 ∙ 1 – 4 > 0». Исходное предложение содержит букву х и при подстановке вместо х некоторого числа, получаем высказывание. Данное предложение является одноместным предикатом.

Множество значений X которое принимает переменная х, называется областью определения предиката А(х).

Совокупность Т значений переменной х, при которых предикат А(х), принимает истинные значения, называется множеством истинности предиката А(х).

В примере 2 область определения X = R, а область истинности

П р и м е р 3.

а)

б)

в) множество простых чисел;

г) . В школе обычно говорят о множестве корней уравнения. Это то же самое, что и множество истинности соответствующего предиката.

Замечание. Область определения Х любого одноместного предиката А(х) можно разбить на два подмножества. Одно из них – область истинности Т предиката А(х), другое подмножество является дополнением множества Т до всего множества Х (Рис. 14).

Рис.14

Если множество истинности предиката совпадает с его областью определения, то такой предикат называется тождественно истинным. Если множество истинности предиката пусто, то такой предикат называется тождественно ложным.

П р и м е р 4. а) На множестве действительных чисел предикат является тождественно истинным (его область определения и множество истинности одинаковы: X = Т = R);

б) На множестве действительных чисел предикат «| х | < 0» является тождественно ложным, так как его множество истинности .

Два предиката А(х) и В(х), заданные на одном и том же множестве X, имеющие одинаковые множества истинности называются эквивалентными (логически равносильными или логически равными).

Пишут: (предикаты А(х) и В(х) эквивалентны).

П р и м е р 5. а) «Натуральное число х делится на 3», «Сумма цифр десятичной записи натурального числа х делится на 3», , так как множеством истинности каждого из этих предикатов является:

б) так как множество истинности этих предикатов является

в) , так как множеством истинности каждого из этих предикатов является:

Каждый одноместный предикат А(х) можно превратить в высказывание с помощью логической операции квантификации – навешивание квантора общности и квантора существования :

читается «для любого икс а от икс»,

читается «существует икс а от икс»

Замечание 1. Записи и можно читать по-разному, хотя их логический смысл всегда один и тот же. Наиболее употребительные из них следующие (слова в квадратных скобках иногда опускаются):

1. читается так:

а) для любого (всякого, каждого [значения]) х из Х А(х) [истинно];

б) всякий (любой, каждый) элемент х из множества X обладает свойством А(х);

в) Каково бы ни было х из X, А(х).

2. читается так:

а) существует [значение] х из Х такое, что А(х) [истинно];

б) для некоторых [значений] х из X А(х) [истинно];

в) по меньшей мере (хотя бы) одно [значение] х из Х таково, что А(х) [истинно];

г) найдётся такое x: из X, чтo А(х) [истинно].

Слово «квантор» происходит от латинского слова «quantum», что означает «сколько». Обозначения и произошли от первых букв английских слов «All» – все и «Exist» – существует.

Высказывание считается истинным, если свойством А обладают все элементы (обладает хотя бы один элемент) из области определения предиката А(х), другими словами, если множество истинности Т предиката А(х) совпадает с его областью определения

П р и м е р 6. а) Предикат превращается в истинное высказывание, если воспользоваться квантором общности: (читается так: для всех действительных значений х выполняется неравенство ). Здесь

б) Предикат превращается в истинное высказывание с помощью квантора существования: (читается так: существует действительное значение х такое, что . В этом случае

П р и м е р 7. Прочитайте следующие высказывания. Какие из них истинны и почему?

а)

б)

в)

Решение. а) (читается так: при любом действительном х имеем х + 3 = 8). Это высказывание ложно, так как, например, при х = 4 имеем:

б) (читается так: существует действительное значение х такое, что х + 3 = 8). Это высказывание истинно, так как

в) (читается так: существует действительное число х, квадрат которого отрицателен). Это высказывание ложно, так как .

П р и м е р 8. Запишите следующие высказывания, используя кванторы:

а) «Квадрат любого числа есть число неотрицательное»;

б) «Найдётся такое действительное х, квадрат которого равен 0».

Ответ: а) ; б) .

Замечание 2. Навешивание кванторов можно применить к любому предикату, при этом получится истинное или ложное высказывание. Если область определения предиката А(х) конечна и равна , то имеют место логические равенства:

П р и м е р 9. а) На множестве задан предикат . Высказывание

(истинное высказывание);

б) На множестве задан предикат .

Высказывание

(истинное высказывание).

Предикат может содержать более одного переменного. Тогда он называется двуместным, трёхместным и т.д. по числу переменных. И кванторов может быть несколько. Для обозначения двуместных предикатов используют символы А(х, у), В(х, у) и так далее. к-местные предикаты обозначаются так: и так далее.

П р и м е р 10. а) – двуместный предикат;

– истинное высказывание.

б) – истинное высказывание, сокращённо пишут так:

П р и м е р 11. – истина.

– ложь.

То есть разноименные кванторы нельзя переставлять. Следует отметить, что одноименные кванторы можно переставлять.

П р и м е р 12.( где – точки плоскости) истинное высказывание.

Предикаты, так же как и высказывания бывают простыми (элементарными) и составными (сложными). Составные предикаты образуются из простых при помощи логических связок: «и», «или», «неверно, что», «если..., то...», «тогда и только тогда», смысл которых тот же, что и в логике высказываний. Дадим определение логических операций над предикатами.

Отрицанием предиката называют предикат , истинный при тех и только тех значения х из множества X, при которых предикат А(х) – ложен, и наоборот.

П р и м е р 13. «Число x оканчивается цифрой 5». «Неверно, что число х оканчивается цифрой 5» (или «Число х не оканчивается цифрой 5»), Т = {15, 25} — множество истинности А(х). {10, 20, 30} – множество истинности . На рисунке 15 множество (дополнение множества Т до X) заштриховано.

Рис.15

Отрицание кванторов. Сравним два высказывания: и . Первое означает: «Не для всех значений х истинно А(х).» Второе означает: «Существует такое значение х, для которого неверно А(х).» Оба высказывания имеют одинаковый смысл, поэтому имеем: (1).

Аналогично, получаем: (2).

В самом деле, левая часть (2) означает: не существует такого значения х, для которого истинно высказывание А(х). Справа: А(х) ложно для всех значений х. Равносильность (1) и (2) называются законами де-Моргана для кванторов.

Итак, чтобы отрицать некоторый квантор, достаточно заменить его на квантор другого смысла, а отрицание перенести на предикат, стоящий за квантором.

П р и м е р 14. .

П р и м е р 15.

Замечание. Повторяя последовательно эти законы, можно «раскрыть» отрицание нескольких кванторов. Например:

П р и м е р 16. Функция f(х) называется ограниченной на множестве X, если . Составим отрицание этого определения, получим определение неограниченной функции: .

Конъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X называется предикат истинный при тех и только тех х из X, при которых истинны оба предиката А(х) и В(х).

П р и м е р 17. «Число x кратно 3», его множество истинности «Число х кратно 5», его область истинности «Число х кратно 3 и 5», его множество истинности (на рисунке 16 множество Т заштриховано).

Рис. 16

Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X называется предикат ложный при тех и только тех х из Х при которых ложны оба предиката А(х) и В(х).

П р и м е р 18. . «Число х кратно 3», его область истинности «Число х кратно 5», его множество истинности «Число х кратно 3 или 5»; множеством истинности дизъюнкции предикатов является множество (Рис. 17).

Рис. 17

Импликацией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X называется предикат ложный при тех и только тех х из X, при которых предикат А(х) истинен, а В(х) ложен.

П р и м е р 19. . «Число х кратно 3», его множество истинности «Число х кратно 5», его множество истинности «Если число х кратно 3, то оно кратно 5»; множеством истинности импликации предикатов является множество (Рис.18).

Рис. 18

Если истинно высказывание , то предикат В(х) называется логическим следствием А(х) (или следствием А(х)).

П р и м е р 20. Рассмотрим два уравнения (два одноместных предиката): (1) и (2). В качестве области определения выберем множество R. (множество действительных чисел). Высказывание истинно, поэтому уравнение (2) является логическим следствием уравнения (1).

Замечание. Запись (с пропуском квантора встречается и в математической литературе).

П р и м е р 21. . «Число х делится на 4», его область истинности ; «Число х делится на 2», его область истинности . Из истинности А(х) следует истинность В(х), то есть . Заметим, что (множество, на котором предикат принимает ложные значения пусто). Кроме того, .

Итак, высказывание истинно в том и только том случае, когда (множество истинности предиката А(х) содержится в множестве истинности предиката В(х)).

Эквиваленцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве X называется предикат истинный при тех и только тех х из X, при которых оба предиката А(х) и В(х) становятся истинными и ложными одновременно.

П р и м е р 22. . «Число х кратно 3», его множество истинности «Число х кратно 5», его множество истинности . «Число х кратно 3, тогда и только тогда, когда х кратно 5». Оба предиката одновременно истинны или ложны при , поэтому множество истинности эквиваленции предикатов есть множество . Очевидно, что (Рис. 19).

Рис. 19

Замечание. Можно дать ещё одно определение равносильности предикатов: предикаты и , называются эквивалентными (логически равносильными или логически равными), если истинно высказывание .

П р и м е р 23. Предикат , заданный предложением «Натуральное х является простым числом», имеет натуральную переменную. Для первых натуральных значений переменой значения можно вписать так, как в таблице справа. При необходимости такую таблицу продолжают строить и дальше. Аналогично, для предиката заданного предложением «Натуральное х делится на натуральное у», можно построить начало двухмерной таблицы истинности так, как это сделано справа. Из начала этой таблицы видно, что, например, – Л, а – И.

П р и м е р 24. Пусть на множестве натуральных чисел заданы предикаты , . Рассмотрим предикаты , и высказывания , . Имеем . Так как при каждом конкретном натуральном значении х = а высказывание истинно, – И, т.е. – И. Далее . Так как при х = 2 высказывание ложно, то – Л, т.е. – Л.

Рассмотрим . Так как при у = 1 высказывание истинно, то – И, – И.

Наконец, выясним истинностное значение каждого из высказываний и . Имеем . Введем и возьмем произвольное натуральное значение х = а. Тогда является истинным высказыванием. Действительно, если y = b, то истинно, так как в случае ложной посылки импликация истинна, а в случае истинной посылки натуральное делимое всегда больше половины натурального делителя. Итак, предикат при каждом конкретном значении х принимает значение И. Значит – И. Далее из того, что – И, следует – И.

Значит истинное высказывание.

П р и м е р 25. Перевести предложение на математический зык, построить его отрицание и это отрицание перевести на русский язык: «Всякое натуральное число, обладающее тем свойством, что оно представимо в виде суммы двух натуральных чисел, делящихся на 5, само делиться на 5». Имеем: ;

В переводе последняя формула означает, что существует натуральное число х, представимое в виде суммы двух натуральных чисел, делящихся на 5, но само число х на 5 не делится.

П р и м е р 26. Дать определение ограниченной действительной функции, построить его отрицание, и это отрицание сформулировать по-русски.

Решение. Имеем: действительная функция f называется ограниченной, если найдется действительное с со свойством: при любом действительном х из того, что определено, следует . Значит, f – ограниченна .

Поcтроенное отрицание ограниченности f записывается так:

f – не ограничена . Итак, функция f не ограничена, если при всяком действительном с найдется действительное число х из области определения f такое, что .

П р и м е р 27. Докажем, что .

Решение. При n =1 утверждение справедливо, так как . Предположим, что оно верно при n = k, т.е. . Докажем, что тогда оно верно и при n = k +1, т.е.

В самом деле

Тем самым доказана справедливость утверждения для любого натурального числа n.

П р и м е р 28. Докажем, что при любом натуральном n.

Решение. Если n =1, то , но . Значит, при n =1 утверждение верно. Предположим, что оно верно при n = k, т.е. . Докажем, что тогда оно верно и при n = k +1. В самом деле, имеем

. Каждое слагаемое делится на 64, следовательно, и вся сумма делится на 64. Итак, утверждение верно при всех .

П р и м е р 29. Докажем, что если , то .

Решение. Выражение, содержащееся в левой части неравенства, представляет собой сумму дробей, знаменатели которых – натуральные числа от 1 до 2ⁿ – 1. При n =1 оно обращается в верное числовое неравенство . Предположим, что неравенство выполняется при n = k, т.е. .