Точечные и интервальные оценки

При обработке экспериментальных данных по работоспособности технических систем требуется найти не только какие-то статистические параметры, но и оценить их точность и достоверность.

Результат эксперимента в этом случае представляют в виде оценок двух типов:

- точечные оценки, которые дают значение искомого параметра;

- интервальные оценки, указывающие пределы, в которые укладываются точечные оценки с определённой вероятностью.

В качестве точечной оценки для неизвестных параметров генеральной совокупности могут быть приняты различные функции элементов выборки (статистики). При этом оценка не должна включать в себя неизвестные значения параметров. Например, оценкой математического ожидания может служить среднее арифметическое элементов выборки, выборочная медиана, полусумма крайних значений вариационного ряда. Оценкой среднеквадратического отклонения может быть выборочное среднее квадратическое, размах вариационного ряда и т.д.

Естественно, в качестве оценок необходимо выбирать те статистики, которые дают лучшее приближение к истинному (вероятностному) значению оцениваемого параметра.

Обычно используются следующие основные критерии качества оценок:

- состоятельность;

- несмещённость;

- эффективность.

Оценка θ называется состоятельной оценкой параметра θ генеральнойсовокупности, если она асимптотически приближается к оцениваемому параметру при увеличении объёма выборки, то есть, если для любого ε > 0 справедливо

lim W { │ θ – θ│> ε } = 0, где W- вероятность (20)

^{n → ∞}

Состоятельность выборочного среднего устанавливает известный закон больших чисел.

При обобщении закона больших чисел получают следующий вывод: любой выборочный момент является состоятельной оценкой соответствующего момента генеральной совокупности.

Несмещённой оценкой θ параметра θ генеральной совокупности называется такая оценка, математическое ожидание которой равно истинному значению оцениваемого параметра. Таким образом, несмещённость оценки означает отсутствие систематической ошибки.

Эффективной оценкой θ параметра θ генеральной совокупности называется такая оценка, которая обладает наименьшей по сравнению с другими оценками дисперсией.

Получение таких оценок является весьма сложным и даже не всегда практически возможным.

Для удовлетворения вышеперечисленным требованиям используют различные методы получения оценок: метод моментов, метод квантилей, метод максимального правдоподобия, метод наименьших квадратов, графический метод и т.д.

Так, например, если испытывалось N одинаковых объектов с неизвестной, но одинаковой вероятностью отказа q, то число отказов n при испытаниях является случайной величиной, имеющей биномиальное распределение.

Точечная оценка вероятности безотказной работы в этом случае, полученная методом максимального правдоподобия, будет

P = 1 – q = 1 – n/N. (21)

Оценка по выражению (21) является несмещённой и эффективной. Однако, общий недостаток точечных оценок состоит в том, что они не отражают влияния изменения выборки, из которой сделано заключение.

Например, если проведено два независимых испытания одинаковых объектов и в первом испытании зафиксировано четыре отказа из двадцати испытываемых объектов, а во втором случае зафиксировано двадцать отказов из ста испытываемых объектов, причём испытания проводились в обоих случаях по плану испытаний без замены до фиксированной наработки Т, то точечная оценка результатов испытаний на надёжность не отражает разницы в их постановке (даёт одинаковый результат Р = 0,8), хотя интуитивно ясно, что оценка во втором случае заслуживает большего доверия, так как сделана по выборке большего объёма.

Любая точечная оценка, даже если она удовлетворяет всем требованиям качества оценок, обладает существенным недостатком – она представляет лишь частное значение случайной величины.

Для определения степени доверия к этой оценке желательно знать интервал изменения этой точечной оценки, то есть доверительный интервал, определённый с какой-то доверительной вероятностью. Поскольку точечная оценка есть случайная величина, то с абсолютной уверенностью мы можем указать её вероятность наступления 0 ≤Р(х) ≤ 1.

Так, например, абсолютно надёжными границами для такого показателя, как вероятность отказа q, являются значения q_н = 0 ( нижняя граница) и q_в = 1 (верхняя граница). Однако, эти значения известны и до опыта (априори) и, следовательно, не несут полезной информации, Указание других границ сопряжено с риском совершить ошибку. Вероятности ошибок называются уровнями значимости и обозначаются соответственно ε_н и ε_в. Дополнительная величина называется двусторонней доверительной вероятностью

γ = 1 –ε_н – ε_в. (22)

Общий метод нахождения границ доверительного интервала состоит в том, что точечная оценка, например, вероятности отказа q рассматривается как случайная величина, имеющая некоторое распределение F(q).

Вид функции распределения F(q) определяется видом распределения исследуемой случайной величины Х (например, наработки на отказ) и теми функциональными преобразованиями, которые производятся над исходными случайными величинами для получения точечной оценки.

Обычно задаются доверительной вероятностью и определяют доверительный интервал (нижнюю и верхнюю доверительные границы).

Если уровни значимости для верхней и нижней доверительных границ случайной величины различны, то

γ_н = 1 – ε_н;

γ_в = 1 – ε_в; (23)

γ = γ_н + γ_в – 1.

Если γ_н = γ_в = γ₁, то γ = 2γ₁– 1.

Правила определения доверительных границ для параметров экспоненциального распределения и распределения Пуассона изложены в

ГОСТ 11.005 –74.

В случае нормального распределения при γ_н = γ_в = γ определение, например, доверительных границ для точечной оценки среднего арифметического Х при малом числе испытаний производят, рассчитывая

Х_н = Х – t_pσ/√n; X_в = Х + t_pσ/√n, (24)

где

t_p – критерий Стьюдента, определяемый по таблицам при принятой доверительной вероятности и числе степеней свободы ν = n – 1.

Определение доверительных границ в общем случае является весьма сложной задачей.