Парная регрессия и корреляция

Корреляционно-регрессионный анализ (КРА)

Этапы проведения комплексного КРА

1. Предварительный анализ явлений и выявление причин возникновения взаимосвязей между признаками, характеризующими эти явления.

2. Разделение признаков на факторные и результативные, выбор наиболее существенных признаков для их исследования на предмет выключения в корреляционно-регрессионной модели (КРМ).

3. Построение матрицы коэффициентов парной корреляции и оценка возможных вариантов группировки признаков КРМ.

4. Предварительная оценка формы уравнения регрессии.

5. Вычисление коэффициентов регрессии и их смысловая интерпретация.

6. Расчет теоретически ожидаемых (воспроизведенных по уравнению регрессии) значений результативного признака.

7. Определение и сравнительный анализ дисперсий: общей, факторной и остаточной; оценка тесноты связи между признаками, включенными в регрессионную модель.

8. Общая оценка качества модели, отсев несущественных (или включение дополнительных) факторов, при необходимости, построение новой модели, т.е. повторение пунктов 1-7.

9. Статистическая оценка достоверности параметров уравнения регрессии, построение доверительных границ для теоретически ожидаемых значений функций.

10. Практические выводы из анализа.

Понятие корреляционного анализа

Корреляционный анализ – раздел математической статистики, посвященный изучению взаимосвязей между случайными величинами.

Корреляция – статистическая зависимость между случайными величинами, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.

Варианты корреляции

Парная (межфакторная) – связь между двумя признаками (результативным и факторными или двумя факторными).

Частная – зависимость между результативными и одним или двумя факторными признаками при фиксированном значении других факторных признаков.??????????

Множественная – зависимость между результативным признаком и двумя и более факторными признаками, включенными в исследование.

Формула определения ковариации:

Ковариация характеризует сопряженность вариации двух признаков, представляет собой статистическую меру взаимодействия двух случайных величин.

cov(y,x) = ((sum n при i=1)*(x_i-x) /()????????????

Формула линейного коэффициента корреляции:

R_yx= (cov(y,x))/(Сигма х*Сигма у) = ((sum n при i=1)*(x_i-x)*(y_i-y))/(n*Сигма х*Сигма у)

Где Сигма х и Сигма у – средние квадратические отклонения случайных величин х и у.

&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

· Коэффициент корреляции принимает значение от 1 до +1;

· Положительное значение коэффициента свидетельствует о наличии прямой связи, отрицательное – обратной.

· Если r_yx = +- 1, корреляционная связь представляет линейную функциональную зависимость;

· Если r_yx = 0 – линейная корреляционная связь отсутствует.

Коэффициент корреляции как статистическая величина подвергается в анализе оценке на достоверность.

Для оценки значимости коэффициента корреляции используют t-критерий Стьюдента (t-статистику), который применяется при t-распределении, отличном от нормального.

При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза (H₀): r_yx = 0;

Если нулевая гипотеза при проверке отвергается, то коэффициент корреляции признается значимым, а связь между переменными – существенной.

Формула расчета t-критерия Стьюдента:

T расчетная = r_yx*()^(1/2) &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

m- объем выборки – число факторных признаков, включенных в модель.

Значение t-критерия сравнивают с табличным t Альфа Гамма.

(Альфа – заданный уровень значимости, Гамма = (n-m-1) – степеней свободы)

Если выполняется неравенство, что t расчетное > t табличного, то значение коэффициента корреляции признается значимым. То есть, нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции отвергается и делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая зависимость.

После этого рассчитывается Парный коэффициент детерминации:

D = r²_yx – показывает, какая доля вариации переменной y учтена в модели и обусловлена влиянием на неё переменной X.