Расчет разветвленных цепей синусоидального тока методом проводимостей

Метод применяется для разветвленных цепей с одним источником питания.

Допустим, имеется схема электрической цепи переменного тока, приведенная на рисунке 3.26. Известны напряжение на входе и параметры элементов электрической цепи. Требуется определить токи в параллельных ветвях и ток в неразветвленном участке цепи.

Рассмотрим основные этапы расчета.

1. Последовательно соединенные элементы в параллельных ветвях (2, 3, 4)преобразуем в эквивалентные параллельные. В результате схема будет иметь вид, представленный на рисунке 3.27.

Проводимости каждой ветви соответственно равны:

.

В результате в параллельных ветвях получились только однородные элементы.

2. Заменим параллельно соединенные активные и реактивные сопротивления эквивалентными. В результате получим схему, приведенную на рисунке 3.28.

Эквивалентные проводимости между вторым и третьим узлами ( и ) соответственно равны:

;

.

Предположим, что b₂ > b₃ тогда элемент b2 3 имеет емкостной характер (рис. 3.28).

2. Параллельно соединенные проводимости g₂₃ и b₂₃ преобразуем в эквивалентно последовательные r₂₃ и x₂₃, получим схему, представленную на рисунке 3.29.

Сопротивления преобразованной схемы соответственно равны

, .

Полученная схема имеет только последовательно соединенные элементы.

4. Определяем полное сопротивление цепи:

.

5. Определяем токи в ветвях.

5.1. Ток в неразветвленном участке цепи:

5.2. Определяем токи в параллельных ветвях. С этой целью предварительно необходимо определить напряжение .

5.2.1. Из схемы (рис.3.29), следует, что напряжение на зажимах параллельной ветви равно:

.

5.2.2. Токи в параллельных ветвях соответственно равны:

.

Возможные варианты расчета разветвленных цепей синусоидального тока методом проводимости, рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 3.3. В электрической цепи, представленной на рисунке 3.30, заданы величины U₂₃ = 120 (B), r₁ = 5 (Ом), r₂ = 9 (Ом), r₃ = 12 (Ом), х_С1 = 12 (Ом), х_С2 = 12 (Ом), х_L3 = 16 (Ом), х_L4 = 24 (Ом). Необходимо определить токи во всех ветвях электрической цепи и напряжение на входе.

Рисунок 3.30 – Электрическая цепь переменного тока

1. Последовательно соединенные элементы в параллельных ветвях (2 и 3)преобразуем в эквивалентные параллельные. В результате схема будет иметь вид, представленный на рисунке 3.31.

Рисунок 3.31 – Преобразованная электрическая цепь

Проводимости каждой ветви соответственно равны:

(См),

(См),

(См),

(См).

В результате в параллельных ветвях получились только однородные элементы.

2. Заменим параллельно соединенные активные и реактивные сопротивления эквивалентными. В результате получим схему, приведенную на рисунке 3.32.

Рисунок 3.32 – Преобразованная электрическая цепь

Эквивалентные проводимости

(См),

(См).

Так как b₂₃ < 0, то b ₂₃ - емкостной элемент.

3. Параллельно соединенные проводимости g₂₃ и b₂₃ преобразуем в эквивалентно последовательные r₂₃ и x₂₃, получим схему, представленную на рисунке 3.33.

Рисунок 3.33 – Преобразованная электрическая цепь

Сопротивления преобразованной схемы:

активное - (Ом),

реактивное - (Ом),

полное - (Ом).

4. Полученная схема имеет только последовательно соединенные элементы и полное сопротивление цепи соответственно равно:

(Ом).

5. Определяем токи в ветвях.

5.1. Общий ток (А).

5.2. Токи в параллельных ветвях соответственно равны:

(А),

(А).

6. Определяем напряжение, приложенное к схеме:

(В).

Пример 3.6. В электрической цепи, представленной на рисунке 3.30, заданы величины I₃ = 4 (A), х_L1 = 16 (Ом), r₂ = 6 (Ом), r₄ = 12 (Ом), х_С2 = 8 (Ом), х_L3 = 10 (Ом). Необходимо определить токи во всех ветвях электрической цепи и напряжение на входе.

Рисунок 3.30 – Электрическая цепь переменного тока

1. Последовательно соединенные элементы в параллельных ветвях (2 и 3)преобразуем в эквивалентные параллельные. В результате схема будет иметь вид, представленный на рисунке 3.31.

Рисунок 3.31 – Преобразованная электрическая цепь

Проводимости каждой ветви соответственно равны:

(См),

(См),

(См),

(См).

В результате в параллельных ветвях получились только однородные элементы.

2. Заменим параллельно соединенные активные и реактивные сопротивления эквивалентными. В результате получим схему, приведенную на рисунке 3.32.

Рисунок 3.32 – Преобразованная электрическая цепь

Эквивалентные проводимости

(См),

(См).

Так как b₂₃ > 0, то b ₂₃ – индуктивный элемент.

3. Параллельно соединенные проводимости g₂₃ и b₂₃ преобразуем в эквивалентно последовательные r₂₃ и x₂₃, получим схему, представленную на рисунке 3.33.

Рисунок 3.33 – Преобразованная электрическая цепь

Сопротивления преобразованной схемы:

активное - (Ом),

реактивное - (Ом),

полное - (Ом).

Полученная схема имеет только последовательно соединенные элементы.

4. Полное сопротивление цепи соответственно равно:

(Ом).

5. Определяем напряжение на зажимах параллельной ветви:

В.

6. Определяем токи в ветвях.

6.1. Общий ток (А).

6.2. Токи в параллельных ветвях соответственно равны:

(А).

7. Определяем напряжение, приложенное к схеме:

(В).