Если в ряду с положительными членами отношение (n + 1)-го члена к n-му при имеет конечный предел l, то есть , то
ряд сходится в случае ;
ряд расходится в случае ;
3) в случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
11 Радикальный признак Коши.
Если для ряда с положительными членами величина имеет конечный предел l при , то есть , то
в случае ряд сходится;
в случае ряд расходится;
3) в случае ответа о сходимости или расходимости ряда теорема не дает.
Доказательство:
Пусть . Рассмотрим число q, удовлетворяющее соотношению . Начиная с некоторого номера n=N будет иметь место соотношение . Отсюда следует, что или для всех . Рассмотрим теперь два ряда: (1) и (2). Ряд 2 сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию. Члены ряда 1, начиная с , меньше членов ряда 2. Следовательно, ряд 1 сходится.
Пусть . Тогда, начиная с некоторого номера n=N будем иметь или . Но если все члены рассматриваемого ряда, начиная с , больше 1, то ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю.
|
|
12. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.