II Производная степенной функции

Найдем производную функции

Для этого применим способ, который называется логарифмическим дифференцированием. Он заключается в том, что функцию вначале логарифмируют, а затем находят производную.

Итак, прологарифмируем функцию по основанию e: . Теперь продифференцируем обе части последнего равенства по аргументу , учитывая, что это сложная функция, так как зависит от

.

А теперь из этого равенства выразим искомую величину , учитывая, что , получим

,

то есть

, где . (3)

Воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции, найдем производную сложной функции

, где , получим , то есть

. (3’)

Примеры: Найти производные следующих функций:

Решение:

Замечание: Здесь можно выделить функцию . Найдем ее производную с помощью формулы (2):

то есть

.

Для сложной функции получим формулу при помощи правила

.