Б) Квартили

Квартили представляют собой значения признака, делящие упорядоченную по возрастанию совокупность на четыре равные по количеству элементов части.

Различают квартиль первого порядка (нижний квартиль) , квартиль второго порядка (совпадает с медианой) , квартиль третьего порядка (верхний квартиль) . Первый (нижний) квартиль отсекает от совокупности ¼ часть единиц с минимальными значениями, а третий (верхний) отсекает ¼ часть единиц с максимальными значениями, второй квартиль является медианой.

Для расчёта квартилей можно поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в каждой из них найти медиану.

К примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.

1 квар тиль

2 квартиль

медиана

В случае, если вариационный ряд состоит к примеру, из 9 элементов, тогда за верхнюю квартиль принимают арифметическое среднее 2-го и 3-го элементов, а за нижнюю арифметическое среднее 7-го и 8-го элементов.

1 квартиль 3 квартиль

Расчет квартилей для дискретного ряда:

1. В дискретном ряду сначала определяют номера квартилей:

номер 1-го квартиля

позиция 3-го квартиля

2. Если номер квартиля – целое число, то значение квартиля будет равно величине элемента ряда, которое обладает накопленной частотой равной номеру квартиля. Например, номер квартиля равен 20, его значение будет равно значению признака с S =20 (накопленной частотой равной 20).

Если номер квартиля – нецелое число, то квартилем будет условное число между двумя наблюдениями. Значением квартиля будет сумма, состоящая из значения элемента, для которого накопленная частота равна целому значению номера квартиля, и указанной части (нецелая часть номера квартиля) разности между значением этого элемента и значением следующего элемента.

Например, если номер квартиля равна 20,25, квартиль попадает между 20-м и 21-м наблюдениями, и его значение будет равно значению 20-го наблюдения плюс 1/4 (0,25) разности между значением 20-го и 21-го наблюдений.

Пример. Найти третий квартиль

Заработная плата рабочего, тыс.руб;	бригада 1	бригада 2
, число рабочих	, накопленная частота	, число рабочих	, накопленная частота
18
20
Итого:

1) Определяем номер 3-го квартиля

для первой бригады ;

для второй бригады ,75;

2) Для первой бригады номер квартиля – целое число. Следовательно, нужно найти элемент совокупности, для которого накопленная частота S равна номеру квартиля. Для этого определяем самую первую накопленную частоту, которая больше или равна номеру квартиля. Это накопленная частота второго значения признака Хi=18, Si=57.

Определяем значение третьего квартиля для первой бригады:Q₃ = x₅₇ = 18 тыс.руб.

Это значит, что заработная плата 75% рабочих 1-ой бригады менее 18 тыс.руб

3) Номер квартиля для второй бригады - нецелое число. Для определения квартиля нужны значения двух элементов – х₅₇ и х₅₈. Значение квартиля находится между ними.

Определяем их значение с помощью самой первой накопленной частоты большей или равной порядковым номерам элементов (57 и 58). Х₅₇= 18, х₅₈= 20.

Теперь определяем значение 3-го квартиля для второй бригады:

Q₃= х₅₇ + (х₅₈ – х₅₇)×0,75 = 18 + (20– 18)×0,75 = 19,5 тыс. руб.

Это значит, что заработная плата 75% рабочих второй бригады менее 19,5 тыс.руб.

Расчет квартилей для интервального ряда:

Для расчета квартилей для интервального ряда

1. Определяем номер квартиля по тем же формулам, что и для дискретного ряда,

2. Определяем квартильный интервал по накопленной частоте. Это первый интервал, для которого накопленная частота будет больше или равна номеру квартиля.

3. Рассчитываем квартиль по формуле:

Где:

J – номер квартиля,

- нижняя граница интервала, содержащего квартиль. Интервал определяется по накопленной частоте интервалов,

- ширина интервала, содержащего квартиль,

- накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему квартиль,

- частота интервала, содержащего квартиль.

Пример. Найти первый квартиль для интервального ряда.

Решение:

1. Определяем номер первого квартиля по формуле

2. Первый квартиль находится в возрастной группе 20-25 лет, так как это первый интервал, для которого накопленная частота больше (или равна) номера квартиля (346<865,75; 1218>865,75).

3. Определяем первый квартиль по формуле

4.

Это значит, что четверть студентов младше 22,98 лет.