Принадлежность множеству

ГЛАВА 1. Нечеткие множества

В классической теории множеств принадлежность элемента x некоторому множеству A записывается в формализованном виде:

x Î A.

Эта формальная запись может также представляться с помощью характеристической функции:

Символ обозначает эквивалентность.

Принадлежность множества к некоторому одномерному множеству A можно представить в графической форме. Пусть имеем одномерное арифметическое пространство – R ₁, в котором заданы два непересекающихся подмножества A и B: A Ì R ₁, B Ì R ₁, A Ç B =Æ.

Тогда принадлежность x подмножеству A можно представить в виде прямоугольника P_A (рис. 1.1а), принадлежность подмножеству B в виде прямоугольника P_B(рис. 1.1б). Обычно эти графические формы принадлежности совмещаются и в результате получается совокупность из 2-х прямоугольников (рис. 1.1в). Принадлежность некоторому двумерному подмножеству представляется параллелепипедом в 3-х мерном пространстве, а принадлежность n - мерному подмножеству соответственно (n+1) - мерным параллелепипедом.

В классической (четкой) теории множеств четкое подмножество A определяется как совокупность упорядоченных пар { x, m_A ^* (x)}, где { ×} – символ совокупности. В одномерном случае x Î R ₁ , в общем x Î R_n. Выбор арифметического пространства R_n обусловлен тем,что в теории управления с переменными x обычно связывают некоторые физические величины (температура, давление, расход и т.д.), которые получают с измерительных датчиков, установленных на объекте управления.

Факту принадлежности можно также придать лингвистическую форму. Пусть в R ₁ задана некоторая физическая величина, например, температура воды, которая измеряется соответствующим датчиком. Будем ассоциировать с подмножеством A диапазон изменения температуры 0°С до 50°, а с подмножеством B ее изменение в диапазоне от 50С° до 100°С. В лингвистической интерпретации принадлежность измеренной температуры подмножеству A будет соответствовать лингвистической переменной “холодная вода”, а подмножеству B – “горячая вода”. Аналогичная интерпретация может быть дана и для других физических величин: давление –“низкое” (подмножество A) или “высокое” (подмножество B), линейная скорость перемещения “маленькая” (подмножество A) или “большая” (подмножество B) и т.д. Если использовать кодирование символами 0 и 1 для упомянутых выше лингвистических переменных, то получим соответствие: “холодная” - 0, “горячая ”-1, “маленькая” – 0, “большая” –1 и т.д. В этой интерпретации не представляется возможным отразить промежуточные состояния температуры воды типа: “прохладная” вода, «теплая» вода, т.к. переменная принадлежности тому или иному подмножеству принимает только два значения 0 или 1, что подразумевает наличие четкой или резкой границы между подмножествами.

Рис.1.1 Графическое представление принадлежности в классической теории множеств.

В классической теории множеств принадлежность элемента одному подмножеству исключает одновременную принадлежность его другому множеству.

Таким образом, в математических терминах характеристическая функция m_A*(x) осуществляет отображение некоторого дискретного или непрерывного подмножества A в множество R1, которое содержит всего лишь два элемента 0 и 1:

m _A ^*(x):A ®R₁={0,1}.

Из определения следует, что областью определения m _A^*(x)является дискретное или непрерывное подмножество, а область значений есть дискретное множество {0,1}. В дискретной математике для исчисления высказываний с функциями, имеющими двоичные значения, используется булева алгебра, которая является теоретической базой вычислительной техники.

Если область значений одномерного отображения m_A (x)Î[0,1] Ì R ₁, тогда m_A (x) называется одномерной функцией принадлежности (membership function). Для исчисления высказываний с такими функциями, принимающими непрерывные значения на отрезке [0,1],используется нечеткая логика, которая является одним из разделов теории нечетких множеств. Сопоставление характеристической функции m_A ^*(x)классической теории множеств с функцией принадлежности m_A (x)теории нечетких множеств показывает, чтохарактеристическая функция является частным случаем функции принадлежности, т.к. бинарная совокупность{0,1}Ì[0,1]. Графическая трактовка одномерной функции принадлежности представлена на рис.1.2. Подмножество A Ì R ₁ имеет функцию принадлежности m_A (x) (рис.1.2а), подмножество B Ì R ₁ функцию принадлежности m_В (x) (рис.1.2б), их совместное положение изображено на рис.1.2в.

Рис.1.2 Графическое представление принадлежности в теории нечетких множеств.

Из рис.1.2а следует, что элемент x ₁ Î А имеет m_A (x ₁) = 1, а элемент x ₂ Î А соответственно m_A (x ₂)=0.8, поэтому в теории нечетких множеств принято говорить, что элемент x ₁принадлежит множеству А полностью, а элемент x ₂принадлежит множеству А частично. Аналогично из рис.1.2б имеем x ₄ Î В полностью (m_В (x ₄) = 1), x ₃Î В частично (m_В (x ₃)=0.8). Соответственно из рис.1.2в имеем: x ₂ÎА частично с весом 0.8 (m_А (x ₂)=0.8) и x ₂Î В частично – с весом 0.2 (m_В (x ₂)=0.2). Элемент x ₃Î А частично с весом 0.2 (m_А (x ₃)=0.2) и x ₃Î частично с весом 0.8 (m_В (x ₃)=0.8).

Таким образом, граница между двумя множествами А и В является размытой или нечеткой и переход элементов из одного множества в другое происходит плавно, без скачков. В классической теории множеств этот переход осуществляется скачкообразно, и оба множества имеют четкую границу между собой. В таблице 1.1 представлено сопоставление характеристической функции m_A ^*(x) теории четких множеств с функцией принадлежности m_A (x) теории нечетких множеств.

Таблица 1.1. Сопоставление характеристической функции с функцией принадлежностей

Теория четких множеств характеристическая функция mA *(x)	Теория нечетких множеств функция принадлежности mA (x)
m: А®{0,1} ÌR1	m: А®[0,1] ÌR1

Наличие между нечеткими множествами размытых границ можно интерпретировать в лингвистической форме (рис. 1.3). Для температуры воды будем предполагать, что температура в 15°С и ее окрестности являются «холодной» водой, температура в 85°С и ее окрестности ассоциируются

Рис. 1.3 Количественное представление нечетких логических переменных «холодная», «горячая» вода.

с «горячей» водой (рис. 1.3а,б).

Тогда нечетким лингвистическим переменным «холодная», «горячая» можно дать количественную форму с использованием функций принадлежностей. Температура в 50°С частично с весом 0.5 является «холодной» и с весом 0.5 «горячей» (рис.1.3в). Отметим, что имеет место условие нормировки: m_A (x)+ m_В (x)=1.

Одномерное нечеткое подмножество А Ì R ₁ определяется как совокупность упорядоченных пар { x, m_A (x)}, x Î R ₁. В различных источниках используется эквивалентные способы представления нечетких множеств:

А ={ x ¤ m_A (x)}Û А ={ m_A (x)¤ x } Û А ={(x; m_A (x))} Û

А ={(m _A (x); x)} Û Û

Здесь символы S и ò понимаются как объединение. Аналогичным способом представляются четкие множества с заменой m_A (x) на m_A ^*(x).

Пример. Пусть Е ={1,2,3,4,5} – четкое дискретное множество, А = {2,3,5}-четкое дискретное подмножество множества Е, т.е. А Ì Е. Тогда подмножество А может быть представлено в следующих эквивалентных формах:

А ={(1;0),(2;1),(3;1),(4;0),(5,1)} Û А ={1/0+2/1+3/1+4/0+5/1) Û

А ={ }.

Графическое представление А изображено на рис.1.4. Четкое число x_iÎR₁в теории нечетких множеств определяется с помощью одиночной (singlton) функции принадлежности (рис.1.5)

Пример. Е={1,2,3,4,5} –дискретное множество, ЕÉА –нечеткое дискретное подмножество с заданной функцией принадлежности (рис.1.6), тогда А может быть представлено в следующих эквивалентных формах А={(1;0),(2;0.51),(3;1),(4;0.5),(5,0)} Û А={1/0+2/0.5+3/1+4/0.5+5/0} Û

А={1/0 U 2/0.5 U 3/1 U 4/0.5 U 5/0}.

Рис. 1.4. Четкое дискретное подмножество А.

Рис. 1.5. Одиночная функция принадлежностей, представляющая четкое число в теории нечетких множеств.

Рис. 1.6. Нечеткое дискретное подмножество А.

Пример. ЕÌR₁ , ЕÉА –нечеткое непрерывное подмножество с функцией принадлежности

m _A (x)=max(y₁-½x-2½; y₂=0), xÎ R_1, (1.2)

тогда А может быть представлено в форме (рис.1.7):

где, как и ранее, символ ò обозначает объединение. При использовании вычислительных устройств непрерывная функция принадлежности представляется в дискретной форме. После аппроксимации непрерывной функции принадлежности m_A(x)треугольного типа ступенчатой функцией m _A*(x) получим нечеткое дискретное подмножество А^*, которое в первом приближении аппроксимирует непрерывное нечеткое подмножество А и может быть также записано в следующих эквивалентных формах (рис.1.8)

А»А * = {(1;0),(1.25;0.25),(1.5;0.5),(1.75;0.75),(2,1), (2.25;0.75),

(2.5;0.5),(2.75;0.25),(3,0)}º1/0+1.25/0.25+1.5/0.5+1.75/0.75+2/1+

+2.25/0.75+2.5/0.5+2.75/0.25+3/0º

1/0 U 1.25/0.25 U 1.5/0.5 U 1.75/0.75 U 2/1 U 2.25/0.75 U2.5/0.

5U 2.75/0.25 U 3/0.

Помимо приведенных выше функций принадлежности треугольного типа и одиночной в теории нечеткого управления широко используются функции трапецеидальной и колоколообразной формы (рис.1.9):

m _A (x)=min{max(a-k½x-b½;0);1} - трапецеидальная, a,b – заданные числа, k- показатель нечеткости; xÎ R₁;

m _A (x)=exp{-(x-m)²/d²} - колоколообразная (нормальная); m- заданное число, d-показатель нечеткости, xÎ R_1.

При решении научно-исследовательских задач нечеткого управления также могут быть использованы следующие функции принадлежности:

m _A (x)=exp(-kx), x>0, m _A (x)=1-ax^k, 0£x£ a^-1/k; m _A (x)=(1+kx²)^-1, k>1.

Обзор простейших функций принадлежности, которые ассоциируютсяс нечеткими утверждениями «величина х – мала», «величина | х | – мала», «величина х – велика», «величина | х | – велика» приведен в [6].

Нечеткое множество с одномерной функцией принадлежности m _A(x)принято называть нечетким множеством 1-го рода.

Рис.1.9. Функции принадлежностей трапецеидальной и колоколообразной формы.

	Рис.1.7. Нечеткое непрерывное подмножество А.

	Рис.1.8. Нечеткое непрерывное подмножество А и его дискретная аппроксимация А *.

	Рис.1.9. Функции принадлежностей трапецеидальной и колоколообразной формы.

Различают также нечеткие множества 2-го рода; в этом случае функция принадлежности (

Для нечеткого множества n-го рода, соответственно,

В современных разделах теории нечетких множеств активно изучается теория вероятностей нечетких множеств (глава 5), для которых

, где Р{×} – вероятность того, что случайная величина принимает значения из промежутка[0;1].

Изучаются другие типы нечетких множеств с определением функций принадлежностей на булевых переменных, решетках, сетях и т.д. Обобщаются традиционные разделы математики в нечеткой постановке: нечеткая статистическая проверка гипотез, нечеткий регрессионный анализ, нечеткие марковские случайные процессы, нечеткие дифференциальные уравнения и другие разделы.

Двумерное нечеткое множество А с использованием двумерной функции принадлежности m_A (x ₁, x ₂) определяется как совокупность:

А = { A ₁´ A ₂; m_A (x ₁, x ₂)},

где A ₁´ A ₂-прямое (декартово) произведение; x₁, x₂ Î R₁. На рис.1.10 представлено нечеткое множество А с двумерной функцией принадлежности пирамидального типа:

m_A (x ₁, x ₂)= max{ а - k ₁ê x ₁- b ê- k ₂ê x ₂-c ê; (x ₁=0, x ₂=0)},

где a, b, c - заданные числа, k ₁, k ₂ – показатели нечеткости, а на рис.1.11 с двумерной колоколообразной функцией:

где m₁, m₂ - заданные числа, d ₁, d ₂ – показатели нечеткости.

Многомерное нечеткое множество А определяется как совокупность:

А = { A ₁´ …´ A _n; m_A (x ₁ ,…, x ₂) }.

Многомерная пирамидальная функция принадлежности:

m_A (x ₁,.., x_n)= max{ а - k ₁ê x ₁ - b ₁ê- …. k_n ê x_n - b_n ê; (x ₁=0,…, x_n =0) },

где – заданные числа; k_i - показатели нечеткости.

Многомерная колоколообразная функция принадлежности:

	Рис.1.10. Нечеткое множество А с двумерной функцией принадлежностей пирамидального типа.

Рис.1.11. Нечеткое множество А с двумерной функцией принадлежностей колоколообразного типа.

Нечеткое множество с многомерной функцией принадлежности помимо названия «многомерное нечеткое множество» имеет эквивалентное название «нечеткое отношение» (fuzzy relation).

По аналогии с (1.1) оно записывается в виде:

- многомерное нечеткое дискретное множество.

- многомерное нечеткое непрерывное множество.

Здесь символ R – аббревиатура Relation –отношение.

Например, двумерное нечеткое дискретное множество А с m_A(x₁,x₂)=max(1-½x₁-x₂½/2;(0;0))на дискретной области x ₁, x ₂:0;1;2;….,10имеет представление A = R = = 0/(0;0)+0/(0;1)+…..+1/2/(0;9)+1/(0;10)+….+1/(10;0)+1/2/(10;1)+ +0/(10;2)+…+0/(10;10) или в матричной форме:

1.2. Свойства нечетких множеств.

При анализе работы нечеткого регулятора важную роль играют свойства нечетких множеств, перечислим некоторые из них (рис.1.12-1.17).

Высота (height-hgt) нечеткого множества А:

Нечеткое множество А с hgt А =1 называется нормальным, а при hgt А <1 субнормальным.

Ядро (core, kernal, nucleus) или центр нечеткого множества А:

Основание (support-supp) нечеткого множества А:

Если supp А < ¥, то основание называется компактным основанием, т.е. совокупность точек является ограниченной и замкнутой. При supp А = ± ¥ основание называется некомпактным.

Поперечными точками (crossover points) нечеткого множества А называется совокупность:

Уровень a нечеткого множества А или a -разрез (сечение) нечеткого множества А: