Строгий a-разрез

1 2 3 4 5 6 7

Из определений следует

Рис.1.14. Нечеткое множество с некомпактным основанием.

Рис.1.12. Нечеткое множество с компактным основанием и центром в виде отрезка.

Рис.1.13. Нечеткое множество с компактным основанием и центром, содержащим одну точку.

Рис.1.14. Нечеткое множество с некомпактным основанием.

Рис.1.15. Поперечные точки нечеткого множества.

Рис.1.17. Выпуклое нечеткое множество.

Рис.1.16.

-уровень нечеткого множества.

Рис.1.17. Выпуклое нечеткое множество.

т.е. ядро нечеткого множества равно разрезу с a = 1

т.е. основание нечеткого множества равно разрезу с .

Выпуклое (convex) нечеткое множество А:

При невыполнении неравенства нечеткое множество называется невыпуклым.

Нечеткое разбиение нечеткого множества А. Если имеем: нечеткое множество А; нечеткие подмножества

тогда подмножества А ₁, …, А _N называются нечетким разбиением нечеткого множества А.

Пример. Пусть нечеткие подмножества, такие что

для " j нечеткое подмножество не содержит более 2-х пересечений с другими нечеткими подмножествами, тогда A_j есть нечеткое разбиение А (рис.1.18).

Специальный тип нечеткого множества А называется нечетким числом, если выполняются следующие условия:

А является выпуклым, (1.5)

А является нормальным (hgt A =1), (1.6)

m_A(x) является кусочно-непрерывной функцией, (1.7)

core A содержит одну точку. (1.8)

Пример нечеткого числа «приблизительно 5» в графической форме приведен на рис.1.19.

Нечеткое множество А, для которого выполняются условия (1.5) – (1.7), а (1.8) не выполняется, называется нечетким интервалом. Пример нечеткого интервала «от приблизительно 2 до приблизительно 7» приведен на рис.1.20.

Рис.1.18. Нечеткое разбиение нечеткого множества.

Рис.1.19. Нечеткое число «

5».

Рис.1.20. Нечеткий интервал «от приблизительно 2 до приблизительно 7».

1.3. Принцип обобщения.

Этот принцип обобщает понятие «отображение» математического анализа и соответственно математические операции типа сложение, вычитание, умножение, деление и другие, которые в теории нечетких множеств интерпретируются как специальный тип отображения. Впервые этот принцип был сформулирован Л.Заде в 1975 году и является одним из наиболее важных в теории нечетких множеств. Как утверждают ведущие специалисты в области теории нечетких множеств Дубоис (Dubois) и Праде (Prade) “этот принцип дает общий метод для обобщения нечетких понятий с тем, чтобы иметь дело с нечеткими количествами» [7].

Применение этого принципа для нечеткой арифметики с нечеткими числами позволяет решать традиционные задачи теории управления: параметрической и структурной идентификации; фильтрации и прогнозирования случайных процессов; обработки измерений по методу наименьших квадратов; распознавания образов и другие задачи.

Имеется много вариантов определения нечеткого отображения. Рассмотрим некоторые из них.

Классическое отображение ¦ определяется как соответствие элемента хÎА₁ элементу уÎА₂:

¦: А₁® А₂.

В теории нечетких множеств нечеткое отображение ¦ определяется, как соответствие элемента хÎА₁ элементу уÎ сфункцией принадлежности m _¦ (x,у). В одномерном случае нечеткое отображение в системе координат { x,у,m _¦ (x,у) } характеризуется некоторой поверхностью и для этого отображения приняты различные обозначения:

и т.д.

По другому варианту определения нечеткое отображение ¦ это отображение с нечеткой областью определения А₁и нечеткой областью значений А₂:

Иногда нечеткое отображение ¦ определяется нечеткой поверхностью m _¦ (x,у) в А₁´А₂.

Нечеткая функция ¦ многих переменных определяется в виде:

Геометрическая интерпретация нечеткой функции одного переменного приведена на рис.1.21.

Принцип обобщения в многомерном случае формулируется в следующей постановке:

- задана нечеткая функция многих переменных

- задано нечеткое множество А аргумента нечеткой функции

Необходимо найти функцию принадлежности нечеткого множества А_n₊₁, которое является область значений нечеткой функции многих переменных

Имеет место следующее определение принципа обобщения в многомерном случае

Пример. Применим этот принцип для сложения двух нечетких чисел:

«@5 + @2» с заданными непрерывными функциями принадлежности треугольного типа:

(1.9)

(1.10)

Шаг1. По заданным

находятся (рис.1.22)

Рис.1.21. Геометрическая интерпретация нечеткой функции одного переменного

Рис.1.22. Нечеткое множество

Шаг 2. Находится

Для этого фиксируется х₂₌х₂₁и варьируется х₁Î[3,7]. В результате получается плоскость p₁, которая пересекает пирамиду

по прямой С₁С₂(рис.1.23). Аналогично поступаем для х₂₌х₂₁и далее для х₁₌х_11, х₁₌х_12, ….. и т.д. В проекции на горизонтальную плоскость х₂0х₁при различных у={0;1/4;1/2;3/4;1} будем иметь изокривые (рис.1.24)

(1.11)

Шаг 3. На горизонтальной плоскости х₂0х₁строятся зависимости для отображения у=х₁+х₂при фиксированных у=у_i (рис.1.25)

Пересечение этих прямых с изокривыми определяются точки:

В результате получается совокупность точек (рис.1.26):

которые определяют функцию принадлежности при сложении двух нечетких чисел «»5+»2».

Рис.1.23. Изокривая

Рис.1.24. Совокупность изокривых

Рис.1.25. Совокупность

Аналогичные построения могут быть сделаны в случае арифметических операций «-» «:» «х» для нечетких чисел с треугольными функциями принадлежностей.

Пусть, как и ранее, имеем функции принадлежностей (1.9), (1.10) двух нечетких чисел»5 и»2 и необходимо вычислить»5-»2, т.е. необходимо найти:

После вычисления прямого произведения пространств А₃=А₁хА₂и дальнейших построений, получим в плоскости х₂х₁соответствующие изокривые (1.11), и, для задаваемых С_i, соответствующие зависимости у=х1-х2=С_i (рис.1.27). Их взаимные пересечения определяет совокупность:

которая будет представлять собойфункцию принадлежностей

разности 2-х нечетких чисел «»5-»2».

На рис.1.28 показаны изокривые и зависимости у=х₁ × х₂=С_i, возникающие при вычислении «»5´»2». На рис. 1.29 представлены изокривые и зависимости

при вычислении «»5:»2».

Рис.1.27. Функция принадлежностей разности 2-х нечетких чисел.

Рис.1.26. Функция принадлежностей суммы 2-х нечетких чисел «

».

Рис.1.28. Функция принадлежностей произведения 2-х нечетких чисел.

Геометрические построения, представленные на рис.1.22-1.29, показывают, что при наличии треугольных функций принадлежностей и элементарных арифметических операций типа «+», «-», «:», «´», получение результирующей функции принадлежностей является более или менее тривиальной операцией. В этом случае принцип обобщения для результирующей функции принадлежностей может быть сформулирован в виде следующего правила:

(1.12)

треугольными функциями принадлежностей.

Рассмотрим несколько примеров арифметических операций с нечеткими числами по (1.12.).

Пример. Имеем нечеткое число «»5» с дискретной функцией принадлежностей (рис.1.30):

m_»₅(х)=0.5¤4+1¤5+0.5¤6.

Это нечеткое число возводится в квадрат (»5)²=(»5)*(»5).

Необходимо найти m₍_»₅₎²(х).

Рис.1.30. Возведение в квадрат нечеткого числа «

5».

Рис.1.29. Функция принадлежностей отношения 2-х нечетких чисел.

Рис.1.31. Сложение двух нечетких чисел «

2».

В соответствии с (1.12) имеем

₃

m₍_»₅₎²= S = m₍_»₅₎(x_i)/ x_i=(0,5/4+1/5+0,5/6)²=(0,5/4²+1/5²+0,5/6²)=

=0,5/16+1/25+0,5/36.

Пример. Имеем нечеткие числа «»5» и «»2» с дискретными функциями принадлежностей (рис.1.31):

m_»₅=0,5/4+1/5+0,5/6; m_»₂(х)=1/2.

Рассматривается сумма 2-х нечетких чисел: «»5 +»2». Необходимо найти m_»_{5 +}_»₂(х). По (1.12) имеем:

m_»₅₊_»₂ (х)= (0,5/4+1/5+0,5/6)+ (1/2)=(0,5/4+2+1/5+2+0,5/6+2)= 0,5/6+1/7+0,5/8.

При наличии более сложных функций принадлежности, например, колоколообразных:

с показателями нечеткости d₁,d₂ соответственно, построение результирующей функции принадлежностей для соответствующих арифметических операций представляет собой достаточно сложную вычислительную процедуру (рис. 1.32). В некоторых случаях не всегда удается получить аналитические решения для результирующей функции принадлежностей. Это обусловлено вычислением декартового произведения пространств.