Геометрическая вероятность

Недостатком классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях применяется метод, в котором по-прежнему основную роль играет понятие равновозможности некоторых событий. Применяется этот метод в задачах, сводящихся к случайному бросанию точки на конечный участок прямой, плоскости или пространства. Отсюда и возникает само название метода – геометрическая вероятность.

Суть метода состоит в следующем: если возможность случайного появления точки внутри некоторой области на прямой, плоскости или в пространстве определяется не положением этой области и ее границами, а только ее размером (длиной, площадью или объемом), то вероятность появления случайной точки внутри некоторой области определяется как отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка.

Так, для двумерного случая, вероятность попадания точки, брошенной наугад в область , в область равна

, (2)

где (рис. 2).

40 50 55 60 70

Рис.2 Рис.3

Пример 1. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?

¨ Пусть длина участка линии между 50-м и 55-м километрами равна единице, т.е. тогда длина всего участка (между 40-м и 70-м километрами) составляет шесть единиц, т.е. (рис.3). Используя формулу (2) для одномерного случая имеем:

. ¨

Пример 2. В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

¨ Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:

¨

Пример 3. Из отрезка наудачу выбраны два числа и . Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .

¨ По условиям опыта координаты точки удовлетворяют системе неравенств:

.

Это значит, что точка наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2 (рис.4). Интересующее нас событие происходит в том и только в том случае, когда выбранная точка окажется в закрашенной фигуре. Эта фигура получена как множество точек, ординаты которых удовлетворяют неравенствам . Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади закрашенной фигуры к площади квадрата:

. ¨

02

Рис.4

Пример 4. Шар помещен внутри эллипсоида . Найти вероятность того, что поставленная наудачу внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.

¨ Объем эллипсоида равен , где - полуоси эллипсоида; объем шара равен . Согласно формуле (9) для трехмерного случая имеем

. ¨

Пример5. (Задача о встрече.) Два человека и условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность встречи этих лиц, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любое время?

¨ Обозначим момент прихода одного человека через , а второго через . Чтобы встреча состоялась, необходимо, чтобы

.

Будем рассматривать и как декартовы координаты на плоскости; всевозможные исходы изобразятся точками квадрата со стороной (минуты), а исходы, благоприятствующие встрече, располагаются в заштрихованной области (рис. 5). Время ожидания .

часы

14

14 15 часы

Рис. 5

Искомая вероятность равна отношению площади заштрихованной фигуры (полосы) к площади всего квадрата, т.е.

. ¨