Задача Бюффона

Задача. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии . На плоскость наудачу брошена игла длины . Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

§ Поймем, что означает здесь «наудачу брошена игла». Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причем две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга.

Обозначим через расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а через — угол между каким-то направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника . Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: .