Плотность распределения НСВ

ФР НСВ является ее исчерпывающей вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения СВ в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси. Более наглядное представление дает функция , которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности.

Пусть имеется НСВ с ФР . Вычислим вероятность попадания этой СВ на элементарный участок . Согласно формуле (3) имеем:

Составим отношение этой вероятности к длине участка :

. (5)

Соотношение (5) называют средней вероятностью, которая приходится на единицу длины этого участка.

Считая ФР дифференцируемой, перейдем в равенстве (5) к пределу при . Тогда получим:

(6)

Опр. Плотностью распределения вероятностей НСВ называют функцию - первую производную от функции распределения :

. ·

Смысл плотности распределения (ПР) состоит в том, что она указывает на то, как часто появляется СВ в некоторой окрестности точки при повторении опытов.

Свойства плотности распределения.

1. Плотность распределения – неотрицательная функция: .

► Это непосредственно вытекает из того, что ПР есть производная от неубывающей ФР . ◄

2. ФР СВ равна интегралу от ПР в интервале от -¥ до :

. (7)

► По определению дифференциала функции имеем: .

Следовательно,

но , поэтому верно (7). ◄

3. Вероятность того, что НСВ примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от до :

. (8)

Геометрически полученный результат можно истолковать так: вероятность того, что НСВ примет значение, принадлежащее интервалу , равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью , кривой распределения и прямыми .