Интегральная теорема Лапласа

Вновь предположим, что производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0< р <1). Как вычислить вероятность Р_п (k₁, k₂) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k₁ и не более k₂ раз (для краткости будем говорить «от k₁ до k₂ раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_п (k₁, k₂ ) того, что событие А появится в п испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу

(*)

где

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции.

Таблица для интеграла приведена в приложении 2.

В таблице даны значения функции Ф(х) для положительных значений х и для х = 0; для х<0 пользуются той же таблицей [функция Ф(х) нечетна, т. е. Ф(–х) = –Ф(х)].

В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, так как для х > 5 можно принять Ф (х) = 0,5. Функцию Ф (х) часто называют функцией Лапласа.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (*) так:

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от k₁ до k₂ раз, вычисляется по формуле:

Пример 4. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию, р=0,2; q=0,8; n=400; k₁=70; k₂=100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Таким образом, имеем

Р₄₀₀(70, 100) = Ф(2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).

По таблице приложения 2 находим:

Ф (2,5) = 0,4938; Ф (1,25)=0,3944.

Искомая вероятность равна:

Р₄₀₀ (70, 100) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.

Задачи

1. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент:

а) включено 4 мотора; б) включены все моторы; в) выключены все моторы.

Отв. а) Р₆(4)=0,246; б) Р₆(6)=0,26; в) Р₆(0) = 0,000064.

2. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

Отв. Р = 1 – [Р₅(0) + Р₅(1)] = 0,472.

3. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие В, если будет произведено 6 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.

Отв. Р = 1 – [Р₆(0) + Р₆(1)] = 0,767.

4. Произведено 8 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,1. Найти вероятность того, что событие А появится хотя бы 2 раза.

Отв. Р = 1 – [Р₈(0) + Р₈(1)] = 0,19.

5. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет:

а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

Отв. а) Р = Р₆(0) + Р₆(1) = 7/64; б)Q = l – [Р₆(0) + Р₆(1)]=57/64.

6. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия р=0,9. Вероятность поражения цели при k попаданиях (k ≥1) равна 1-q^k. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если сделано два выстрела.

Указание. Воспользоваться формулами Бернулли и полной вероятности.

Отв. 0,9639.

7. Найти приближенно вероятность того, что при 400 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,2.

Отв. Р₄₀₀ (104) = 0,0006.

8. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

а) не менее 70 и не более 80 раз; б) не более 70 раз.

Отв. а) Р₁₀₀(70,80) = 2Ф(1,15) = 0,7498;

б) Р₁₀₀(0; 70)= – Ф (1,15) + 0,5 = 0,1251.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Таблица значений локальной функции Лапласа

0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3726	0,3712	0,3698
0,4	0,3683	0,3668	0,3652	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0395	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0353	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001
	ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Таблица значений интегральной функции Лапласа x Ф(х) x Ф(х) x Ф(х) x Ф(х) x Ф(х) x Ф(х) 0,00 0,0000 0,50 0,1915 1,00 0,3413 1,50 0,4332 2,00 0,4772 3,00 0,49865 0,01 0,0040 0,51 0,1950 1,01 0,3438 1,51 0,4345 2,02 0,4783 3,20 0,49931 0,02 0,0080 0,52 0,1985 1,02 0,3461 1,52 0,4357 2,04 0,4793 3,40 0,49966 0,03 0,0120 0,53 0,2019 1,03 0,3485 1,53 0,4370 2,06 0,4803 3,60 0,499841 0,04 0,0160 0,54 0,2054 1,04 0,3508 1,54 0,4382 2,08 0,4812 3,80 0,499928 0,05 0,0199 0,55 0,2088 1,05 0,3531 1,55 0,4394 2,10 0,4821 4,00 0,499968 0,06 0,0239 0,56 0,2123 1,06 0,3554 1,56 0,4406 2,12 0,4830 4,50 0,499997 0,07 0,0279 0,57 0,2157 1,07 0,3577 1,57 0,4418 2,14 0,4838 5,00 0,499997 0,08 0,0319 0,58 0,2190 1,08 0,3599 1,58 0,4429 2,16 0,4846     0,09 0,0359 0,59 0,2224 1,09 0,3621 1,59 0,4441 2,18 0,4854     0,10 0,0398 0,60 0,2257 1,10 0,3643 1,60 0,4452 2,20 0,4861     0,11 0,0438 0,61 0,2291 1,11 0,3665 1,61 0,4463 2,22 0,4868     0,12 0,0478 0,62 0,2324 1,12 0,3686 1,62 0,4474 2,24 0,4875     0,13 0,0517 0,63 0,2357 1,13 0,3708 1,63 0,4484 2,26 0,4881     0,14 0,0557 0,64 0,2389 1,14 0,3729 1,64 0,4495 2,28 0,4887     0,15 0,0596 0,65 0,2422 1,15 0,3749 1,65 0,4505 2,30 0,4893     0,16 0,0636 0,66 0,2454 1,16 0,3770 1,66 0,4515 2,32 0,4898     0,17 0,0675 0,67 0,2486 1,17 0,3790 1,67 0,4525 2,34 0,4904     0,18 0,0714 0,68 0,2517 1,18 0,3810 1,68 0,4535 2,36 0,4909     0,19 0,0753 0,69 0,2549 1,19 0,3830 1,69 0,4545 2,38 0,4913     0,20 0,0793 0,70 0,2580 1,20 0,3849 1,70 0,4554 2,40 0,4918     0,21 0,0832 0,71 0,2611 1,21 0,3869 1,71 0,4564 2,42 0,4922     0,22 0,0871 0,72 0,2642 1,22 0,3883 1,72 0,4573 2,44 0,4927     0,23 0,0910 0,73 0,2673 1,23 0,3907 1,73 0,4582 2,46 0,4931     0,24 0,0948 0,74 0,2703 1,24 0,3925 1,74 0,4591 2,48 0,4934     0,25 0,0987 0,75 0,2734 1,25 0,3944 1,75 0,4599 2,50 0,4938     0,26 0,1026 0,76 0,2764 1,26 0,3962 1,76 0,4608 2,52 0,4941     0,27 0,1064 0,77 0,2794 1,27 0,3980 1,77 0,4616 2,54 0,4945     0,28 0,1103 0,78 0,2823 1,28 0,3997 1,78 0,4625 2,56 0,4948     0,29 0,1141 0,79 0,2852 1,29 0,4015 1,79 0,4633 2,58 0,4951     0,30 0,1179 0,80 0,2881 1,30 0,4032 1,80 0,4641 2,60 0,4953     0,31 0,1217 0,81 0,2910 1,31 0,4049 1,81 0,4649 2,62 0,4956     0,32 0,1255 0,82 0,2939 1,32 0,4066 1,82 0,4656 2,64 0,4959     0,33 0,1293 0,83 0,2967 1,33 0,4082 1,83 0,4664 2,66 0,4961     0,34 0,1331 0,84 0,2995 1,34 0,4099 1,84 0,4671 2,68 0,4963     0,35 0,1368 0,85 0,3023 1,35 0,4115 1,85 0,4678 2,70 0,4965     0,36 0,1406 0,86 0,3051 1,36 0,4131 1,86 0,4686 2,72 0,4967     0,37 0,1443 0,87 0,3078 1,37 0,4147 1,87 0,4693 2,74 0,4969     0,38 0,1480 0,88 0,3106 1,38 0,4162 1,88 0,4699 2,76 0,4971     0,39 0,1517 0,89 0,3133 1,39 0,4177 1,89 0,4706 2,78 0,4973     0,40 0,1554 0,90 0,3159 1,40 0,4192 1,90 0,4713 2,80 0,4974     0,41 0,1591 0,91 0,3186 1,41 0,4207 1,91 0,4719 2,82 0,4976     0,42 0,1628 0,92 0,3212 1,42 0,4222 1,92 0,4726 2,84 0,4977     0,43 0,1664 0,93 0,3238 1,43 0,4236 1,93 0,4732 2,86 0,4979     0,44 0,1700 0,94 0,3264 1,44 0,4251 1,94 0,4738 2,88 0,4980     0,45 0,1736 0,95 0,3289 1,45 0,4265 1,95 0,4744 2,90 0,4981     0,46 0,1772 0,96 0,3315 1,46 0,4279 1,96 0,4750 2,92 0,4982     0,47 0,1808 0,97 0,3340 1,47 0,4292 1,97 0,4756 2,94 0,4984     0,48 0,1844 0,98 0,3365 1,48 0,4306 1,98 0,4761 2,96 0,4985     0,49 0,1879 0,99 0,3389 1,49 0,4319 1,99 0,4767 2,98 0,4986

[1] Функцию φ(х) называют асимптотическим приближением функции f(x), если