Основные теоремы о пределах

Теорема. (о единственности предела) Если и , то .

Доказательство. Предположим, что , тогда , такое, что пересечение окрестностей ∩ ∅, но с другой стороны для и , такие, что

,

.

Но так как пересечение окрестностей равно пустому множеству, то мы получили противоречие.

⊠

Вычисление пределов значительно упрощается, если использо­вать теоремы о пределах суммы (разности), произведения и частного сходящихся последовательностей.

Теорема. Если функции и в точке имеют конечные пределы, т. е. , , то:

1) ,

2) ,

3) .

Теорема(о сравнении функций). Если в b и существуют конечные пределы и , то

b .

Теорема. Если в b b и существуют конечные пределы , то и .