2015-06-04
11890
Структура оптимизационных задач.
Оптимизационные задачи (ОЗ) решаются с помощью оптимизационных моделей (ОМ) методами математического программирования.
Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющих эту область. Целевая функция в самом общем виде, в свою очередь, также состоит из трех элементов:
o управляемых переменных;
o неуправляемых переменных;
o формы функции (вида зависимости между ними).
Область допустимых решений это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.
Если система ограничений несовместима, то область допустимых решений является пустой. Ограничения подразделяются:
а) на линейные (I и II) и нелинейные (III и IV)
б) детерминированные (А, В) и стохастические (группы кривых С i )
Стохастические ограничения являются возможными, вероятностными, случайными.
|
|
|
ОЗ решаются методами математического программирования, которые подразделяются:
o на линейное программирование;
o нелинейное программирование;
o динамическое программирование;
o целочисленное программирование;
o выпуклое программирование;
o исследование операций;
o геометрическое программирование и др.
Постановка задачи. Математическая модель ЗЛП.(задача линейного программирования)
Линейное программирование – направление математики, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.
К математическим задачам линейного программирования относят исследования конкретных производственно-хозяйственных ситуаций, которые в том или ином виде интерпретируются как задачи об оптимальном использовании ограниченных ресурсов.
Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк. Это, например:
· задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;
· задача о смесях (планирование состава продукции);
· задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");
· транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).
Задача линейного программирования (стандартная, каноническая и общая) и ее геометрическая интерпретация.
Задачи
Общей (стандартной) задачей линейного программирования называется задача нахождения минимума линейной целевой функции (линейной формы) вида[3]:
|
|
|
Задача, в которой фигурируют ограничения в форме неравенств, называется основной задачей линейного программирования (ОЗЛП)
,
.
Задача линейного программирования будет иметь канонический вид, если в основной задаче вместо первой системы неравенств имеет место система уравнений с ограничениями в форме равенства[4]:
,
Основную задачу можно свести к канонической путём введения дополнительных переменных.
Задачи линейного программирования наиболее общего вида (задачи со смешанными ограничениями: равенствами и неравенствами, наличием переменных, свободных от ограничений) могут быть приведены к эквивалентным (имеющим то же множество решений) заменами переменных и заменой равенств на пару неравенств[5].
Легко заметить, что задачу нахождения максимума можно заменить задачей нахождения минимума, взяв коэффициенты 
с обратным знаком.
Общая задача линейного программирования. Основные теоремы. Многоугольник решений.
1. Общая задача линейного программирования
1. Формулировка задачи.
Даны линейная функция
(1.1) Z = С 1 х 1 +С 2 х 2 +… +С N x N
и система линейных ограничений
a 11 x 1 + a 22 x 2 + … + a 1N Х N = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2N Х N = b 2
...........
a i1 x 1 + a i2 x 2 + … + a iN Х N = b i (1.2)
...........
a M1 x 1 + a M2 x 2 + … + a MN Х N = b M
(1.3) x j 0 (j = 1, 2, …,n)
где а ij , Ь j и С j - заданные постоянные величины
Найти такие неотрицательные значения х 1 , х 2 , …, х n , которые удовлетворяют системе ограничений (1.2) и доставляют линейной функции (1.1)минимальное значение
Общая задача имеет несколько форм записи
Векторная форма записи. Минимизировать линейную функцию Z = СХ при ограничениях
(1.4) А 1 х 1 + А 2 x 2 + … + А N x N = А о , X 0
где С = (с 1 , с 2 , …, с N ); Х = (х 1 , х 2 , …, х N ); СХ – скалярное произведение; векторы
A 1 , A 2 ,…, A N , A 0
состоят соответственно из коэффициентов при неизвестных и свободных членах
Матричная форма записи. Минимизировать линейную функцию, Z = СХ при ограничениях АХ = А 0 , Х 0, где С = (с 1 , с 2 , …, с N ) – матрица-cтрока; А = (а ij ) – матрица системы;
Х – матрица-столбец, А 0 - матрица-столбец
Запись с помощью знаков суммирования. Минимизировать линейную функцию Z = С j х jпри ограничениях
0пределение 1. Планом или допустимым решением задачи линейного программирования называется Х = (х 1 , х 2 , …, х N ), удовлетворяющий условиям (1.2) и (1.3)
0пределение 2. План Х = (х 1 , х 2 , …, х N ) называется опорным, если векторы А (i = 1, 2, …, N), входящие в разложение (1.4) с положительными коэффициентами х, являются линейно независимыми
Так как векторы А являются N-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать М
0пределение 3. Опорный план называется невырожденным, если он содержит М положительных компонент, в противном случае опорный план называется вырожденным
0пределение 4. Оптимальным планом или оптимальным решением задачи линейного программирования называется план, доставляющий наименьшее (наибольшее) значение линейной функции
В дальнейшем рассмотрено решение задач линейного программирования, связанных с на
хождением минимального значения линейной функции. Там, где необходимо найти максимальное значение линейной функции, достаточно заменить на противоположный знак линейной функции и найти минимальное значение последней функции. Заменяя на противоположный знак полученного минимального значения, определяем максимальное значение исходной линейной функции
Для обоснования методов решения задач линейного программирования сформулируем ряд важнейших теорем, подтверждая их справедливость дальнейшими геометрическими построениями и опуская аналитические доказательства этих теорем. Вначале дадим некоторые определения.
|
|
|
Определение 1. Множество точек называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками ему принадлежит и весь отрезок, соединяющий их.
На рис. 2.1 изображено выпуклое множество (выпуклый многоугольник), а на рис. 2.2 - невыпуклое.
| 
|
| рис. 2.1 | рис. 2.2 |
Определение 2. Пересечение конечного числа выпуклых множеств также выпуклое множество.
Определение 3. Точка выпуклого множества называется угловой (или крайней), если через неё нельзя провести ни одного отрезка, состоящего только из точек данного множества и для которого она была бы внутренней.
Для выпуклого многоугольника угловыми точками являются все его вершины. В пространстве выпуклое множество с конечным числом угловых точек называется выпуклым многогранником.
Утверждение 1. Множеством решений системы m линейных неравенств с n переменными является выпуклый многогранник в n-мерном пространстве (исключая случай, когда система несовместна).
Теорема 1. Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования является выпуклым.
Ранее говорилось, что ограничениями любой задачи линейного программирования являются либо система линейных уравнений, либо система линейных неравенств. Совокупность решений таких систем при условии их совместности, образует выпуклые множества с конечным числом угловых точек. В частном случае, когда в систему ограничений - неравенств входят только две переменные x1 и x2 это множество можно изобразить на плоскости (см.3).
Теорема 2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно совпадает с одной (двумя) из угловых точек множества допустимых решений.
Справедливость этого утверждения иллюстрируется в примере 3.
Теорема 3. Каждому допустимому базисному решению задачи линейного программирования соответствует угловая точка области допустимых решений системы ограничений, и наоборот.
