Таким образом. Из соотношения Q = 2πRτ определим радиус кольца: R = Q/(2πτ)

.

Из соотношения Q = 2 πRτ определим радиус кольца: R = Q /(2 πτ). Тогда

.

Модуль напряженности . (1)

Проверим, дает ли правая часть полученного равен­ства единицу напряженности (В/м):

Выразим физические величины, входящие в форму­лу (1), в единицах СИ () и произведем вычисления:

Е = В/м = 7,94 кВ/м.

Задача 6. Две концентрические проводящие сферы радиусами R ₁ = 6 см и R ₂ = 10 см несут соответственно заряды Q ₁ = 1 нКл и Q ₂ = -0,5 нКл. Найти напряжен­ность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на рас­стояниях r ₁= 5 см, r ₂ = 9 см, r ₃ = 15 см). Построить график Е (r).

Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях (Рис. 10): обла­сти I (r ₁ <R ₁ ),области II (R ₁< r ₂ < R ₂), области III (r _з> R ₂).

1. Для определения на­пряженности Е ₁ в области I проведем гауссову повер­хность S ₁ радиусом r ₁ и воспользуемся теоремой Остроградского—Гаусса:

dS = 0

Рис. 10.

(так как суммарный заряд, находящийся внутри гауссо­вой поверхности, равен нулю). Из соображений симметрии E _n = Е ₁ = const.

Следовательно, Е ₁ dS = 0 и Е ₁(напря­женность поля в области I) во всех точках, удовлетворяю­щих условию r ₁ <R ₁, будет равна нулю.

2. В области II проведем гауссову поверхность радиусом r ₂. В этом случае диэлектрическую проницаемость ε среды будем считать равной единице (вакуум).

E _n dS = Q ₁/ ε ₀,

(так как внутри гауссовой поверхности находится только заряд Q ₁).

Так как E _n = E = const, то E можно вынести за знак интеграла:

E dS = Q ₁/ ε ₀, или E S ₂ = Q ₁/ ε ₀.

Обозначив напряженность E для области II через E ₂ получим

E ₂ = Q ₁/ (ε ₀ S ₂),

где S₂ = 4 — площадь гауссовой поверхности. Тогда

E ₂ = . (1)

3. В области III гауссова поверхность проводится ра­диусом r ₃. Обозначим напряженность Е области III через E ₃и учтем, что в этом случае гауссова поверхность охва­тывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд бу­дет равен Q ₁+ Q ₂. Тогда

E ₃ = . (2)

Убедимся в том, что правая часть равенств (1) и (2) дает единицу напряженности:

Выразим все величины в единицах СИ (Q ₁ = 10 ^-9 Кл, Q ₂= - 0,5 · 10 ^-9 Кл,

r ₁ = 0,09 м, r ₂ = 0,15 м, 1 /(4 ) = 9·10⁹ м/Ф) и произведем вычисления:

E ₂ = 9·10⁹ В/м =1,11кВ/м;

E ₃ = 9·10⁹ В/м = 200 В/м.

Построим график E (r). В области I(r ₁< R ₁) E = 0. В области II (R ₁≤ r < R ₂) E ₂(r) изменяется по закону 1/ r ². В точке r = R ₁ E ₂(R ₁) = Q ₁/ (4 ) = 2,5 кВ/м.

В точке r = R ₂ (r стремится к R ₂ слева) Е ₂(R ₂) = Q ₁/ () = 0,9 кВ/м. В области III (r < R ₂) E ₃(r) изменяется по закону 1/ r ², причем в точке r = R ₂

(r стре­мится к R ₂ справа)

Е ₃(R ₂) = (Q ₁- /() = 0,45 кВ/м. Таким образом, функция E (r) в точках r = R ₁ и r = R ₂ терпит разрыв.

Рис. 11.

График зависимости Е от r, представлен на рис. 11.

Задача 7. На пластинах плоского конденсатора на­ходится заряд Q = 10 нКл. Площадь S каждой пласти­ны конденсатора равна 100 см², диэлектрик -воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Решение. Заряд Q одной пластины находится в поле напряженностью Е, созданном зарядом другой пла­стины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила

F = Q E (1)

Так как напряженность поля, созданного пластиной определяется по формуле

E =σ/(2 ε₀)=Q/(2 ε₀S),

где σ — поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) примет вид

F = Q²/(2 ε₀ S).

Произведем вычисления:

F = Н =5,65·10^-4 Н = 565 мкН.

Задача 8. Электрическое поле создано длинным ци­линдром радиусом R= 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 20нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии а ₁ = 0,5 см и а ₂ = 2 см от поверхности ци­линдра, в средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью по­ля и изменением потенциала: . Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

E = , или dφ = - Edr.

Интегрируя это выражение, найдем разность потен­циалов двух точек, отстоящих на расстояниях r ₁и r ₂от оси цилиндра:

. (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

Е = τ / (2π ε₀r).

Подставив выражение Е в(1), получим

ln ,

или

ln .

Произведем вычисления, учитывая, что величины r ₁и r ₂входящие в формулу (2) в виде отношения, можно выразить в сантиметрах

r ₁ = R + a ₁ = 1,5 см,

r ₂ = R + а₂ = 3 см.

2·10^-8·1,8·10¹⁰ ln (3/1,5) = 3,6·10²·2,3 ln 2 = 250 В.

Задача 9. Определить ускоряющую разность потен­циалов U, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью υ _о= 10⁶ м/с, что­бы скорость его возросла n = 2 раза.

Решение. Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатиче­ского поля. Эта работа определяется произведением эле­ментарного заряда е на разность потенциалов U:

A = eU. (1)

Работа сил электростатического поля в данном слу­чае равна изменению кинетической энергии электрона:

A =T ₂ – T ₁ = , (2)

где T ₁ и T ₂ — кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m — масса элект­рона; υ ₁и υ ₂ - начальная и конечная его скорости.

Приравняв правые части равенств (1) и (2), полу­чим

eU = =

где п = υ ₂ / υ ₁.

Отсюда искомая разность потенциалов

U =

Произведем вычисления:

U = = 8,53 В.

Задача 10. Конденсатор емкостью С ₁ = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U ₁ = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С ₂ = 5мкФ. Какая энергия W ^'израсходуется на образование искры в, момент присоединения второго конденсатора?

Решение. Энергия, израсходованная на образо­вание искры,

W ^' = W _l - W ₂, (1)

где W _l— энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W ₂ — энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

W = ^l/₂ CU ², (2)

где С — емкость конденсатора или батареи конденса­торов.

Выразив в формуле (1) энергии W _lи W₂ по фор­муле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

W ^' = ^l/₂ C ₁ U ₁² - ^l/₂ (C ₁+ С ₂) (3)

где U ₂— разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потен­циалов U ₂следующим образом:

. (4)

Подставив выражение U₂ в (3), найдем

,

или

Произведем вычисления:

1,5 мДж.

Задача 12. Сила тока в проводнике сопротивлением R = 20 Ом нарастает в течение времени = 2 с по линей­ному закону от I _о = 0 до I = 6 А (Рис. 12). Определить теплоту Q ₁, выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q ₂ — за вторую, а также найти отношение Q ₂/ Q ₁.

Решение. Закон Джоуля—Ленца в виде Q = I R t справедлив для постоянного тока (I = const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде

dQ = I ² Rdt. (1)

Здесь сила тока I является некоторой функцией вре­мени. В данном случае

Рис. 12.

I = k t, (2)

где k — коэффициент про­порциональности, характе­ризующий скорость измене­ния силы тока:

k =

С учетом (2) формула (1) примет вид

dQ = k²Rt²dt. (3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени , выражение (3) надо проинтегриро­вать в пределах от t ₁до t ₂:

Q = k ² R .

Произведем вычисления:

Q ₁ = Дж = 60 Дж;

Q ₂ = 1 Дж = 420 Дж.

Следовательно,

Q ₂ /Q ₁ = 420/60 = 7,

т. е. за вторую секунду выделится теплоты в семь раз больше, чем за первую.

Задача 13. По отрезку прямого провода длиной l = 80 см течет ток I = 50 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током, в точке А, равноудаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии r _о = 30 см от его середины.

Решение. Направление вектора магнитной индукции поля, создаваемого прямым током, можно определить по правилу буравчика (правилу правого винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (штриховая линия на Рис. 13) и по касательной к ней в интересующей нас точке проводим вектор . Вектор магнитной индукции в точке А (Рис. 14) направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас.

Рис. 13.

Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции магнитных полей. Закон Био-Савара-Лапласа позволяет определить магнитную индукцию , создаваемую элементом тока Idl. Заметим, что вектор в точке А направлен за плоскость чертежа. Принцип суперпозиции позволяет для определения воспользоваться геометрическим суммированием (интегрированием):

, (1)

где символ l означает, что интегрирование распространяется на всю длину провода.

Запишем закон Био-Савара-Лапласа в векторной форме:

,

где - магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной dl с током I в точке, определяемой

радиусом-вектором , μ ₀ - магнитная постоянная; μ - магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае μ = 1). Заметим, что векторы от различных элементов тока сонаправлены (Рис. 14), поэтому выражение (1) можно переписать в скалярной форме:

В = dB,

Где dB = .

В скалярном выражении закона Био-Савара-Лапласа угол α есть угол между элементом проводника с током длиной dl и радиусом-вектором .

Таким образом,

B = . (2)

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы была одна переменная — угол α. Для этого выразим длину элемента провода dl через угол dα:

dl = r dα /sin α (Рис. 14).

Тогда подынтегральное выражение запишем в виде .

Заметим, что переменная также зависит от α, (r=r _o/sin α); следовательно,

.

Таким образом, выражение (2) можно переписать в виде

B = ,

где α ₁ и α ₂ — пределы интегрирования.

Выполним интегрирование:

B = , (3)

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cos α ₂ = - cos α ₁. С учетом этого формула (3) примет вид

(4)

Из Рис. 13 следует

cos α ₁= .

Подставив выражение cos α ₁ в формулу (4), получим

B = , (5)

Произведя вычисления по формуле (5), найдем В = 26,7 мкТл.

Задача 14. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Решение. Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое действует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их для удобства I ₁ и I ₂) текут в одном направлении. Ток I ₁ создает в месте расположения второго провода (с током I ₂) магнитное поле.

Проведем линию магнитной индукции (пунктир на Рис. 15) через второй провод и по касательной к ней — вектор магнитной индукции . Модуль магнитной индукцииВ₁ определяется соотношением

В ₁ = . (1)

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с током I ₂длиной dl действует в магнитном поле сила

dF = I ₂ B ₁ d l sin(d ).

Так как вектор перпендикулярен вектору ₁, то sin(d )= 1 и тогда

dF = I ₁ В ₁ dl.

Подставив в это выражение В₁согласно (1), получим

dF = dl.

Рис. 15.

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием:

.

Заметив, что I ₁= I ₂= I, получим

.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

.

Произведем вычисления:

F = .

Сила сонаправлена с силой (рис. 15) и определяется правилом левой руки.

Задача 15. Электрон движется в однородном магнитном поле (В = 10мТл) но винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h = 6 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость υ.

Решение. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом ()к линиям магнитной индукции. Разложим, как это показано на Рис. 16, скорость электрона на две составляющие: параллельную вектору ( _║) и перпендикулярную ему ( _┴). Скорость _║ в магнитном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость _┴ в результате действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению ( _{л ┴ ┴}) (в отсутствие параллельной составляющей ( _║ = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям). Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях: равномерном перемещении со скоростью _║ и равномерном движении по окружности со скоростью υ _┴, так как при равномерном движении по окружности модуль υ _┴ не меняется.

Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением

T = 2 π R/ υ _┴. (1)

Найдем отношение R / υ _┴.Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение a_n= υ ²_┴ /R. Согласно второму закону Ньютона можно написать

F _л= т a_n,

или

|е| υ _┴ B = m υ ²_┴ / R, (2)

.

Рис.16

где υ _┴ = υ sin α.

Сократив (2) на υ _┴, выразим соотношение R/ υ _┴ (R/ υ _┴ = m / |е| В)

и подставим его в формулу (1):

Т = 2 (3)

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (секунду):

Произведем вычисления:

Т = = 3,57·10^-9 с = 3,57 нс.

Модуль скорости υ, как это видно из рис. 12, можно выразить через υ _┴ и υ_║:

υ ² = υ ²_┴+ υ ² _║.

Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости:

υ _┴ = .

Параллельную составляющую скорости υ_║ найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу винтовой линии, т.е. h = Т υ_║ откуда

υ_║ = h / T.

Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим

υ_║ = .

Таким образом, модуль скорости электрона

υ ² = υ ² _┴+ υ ² _║ = .

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). Для этого заметим, что R и h имеют одинаковую размерность - метр (м). Поэтому в квадратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):

Произведем вычисления:

υ = = 2,46∙10⁷ м/с,

или 24,6 Мм/с.

Задача 16. Короткая катушка, содержащая N = 10³ витков, равномерно вращается с частотой п =10 с^-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол α = 60° с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 см².

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:

(1)

Потокосцепление ψ = N Ф, где N — число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение ψ в формулу (1), получим

(2)

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизывающий катушку в момент времени t, изменяется по закону Ф = ВS cos ωt, где В - магнитная индукция; S - площадь катушки; ω - угловая скорость катушки. Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

= NВS ω sin ωt.

Заметив, что угловая скорость ω связана с частотой вращения п катушки соотношением ω = 2 πn и что угол (Рис. 17), получим (учтено, что

sin (π/2 - α) = cos α)

= 2 πn NВS cos α.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства

дает единицу ЭДС (В):

[n][B][S] =

Рис. 17. Произведем вычисления:

= = 12,6 В.

Задача 17. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N = 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока I = 4 А магнитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Решение. Индуктивность L связана с потокосцеплением ψ и силой тока I соотношением

ψ =L I. (1)

Потокосцепление, в свою очередь, может быть определено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):

ψ = N Ф. (2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность соленоида:

L = N Ф/I. (3)