Ряд Фурье в комплексной форме

Пусть периодическая функция с периодом разложена в ряд Фурье

. (31)

Из формулы Эйлера следует, что

и .

Тогда ; .

Подставив эти выражения в (31) и отдельно группируя слагаемые, содержащие и , получим

.

Если обозначить ; ; , то ряд примет вид

,

а просуммировав по отрицательным значениям , запишем комплексную форму ряда Фурье в окончательном виде

. (32)

Комплексные коэффициенты Фурье вычисляются по формуле

. (33)

Для произвольного периода формулы (31) и (32) принимают вид

; . (34)

Модуль позволяет найти амплитуду -ой гармоники

; .

Комплексная форма ряда Фурье имеет более простой вид по сравнению с формулами (24, 25). Кроме того, в ряде случаев она облегчает вычисления.

В электротехнике числа называют волновыми числами, а их совокупность - спектром. Для ряда Фурье спектр имеет дискретный характер.

Пример 33. Разложить в ряд Фурье в комплексной форме периодическую функцию

Решение. По формуле (33), интегрируя по частям, находим коэффициент Фурье для .

Так как

и ,

то .

Для имеем:

.

Используя формулу (31), получим ряд Фурье:

.