Ряды Фурье

Напомним некоторые сведения из предыдущих разделов математики.

Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов таким образом, чтобы в каждом из них функция была монотонной, т.е. либо не возрастающей, либо не убывающей.

Функция называется периодической с периодом , если для любого значения аргумента из области определения функции имеет место равенство

Для таких функций результат интегрирования в пределах, отличающихся на , не зависит от выбора нижнего предела интегрирования, т.е. для любого

(23)

Функция , описывающая гармоническое колебание, имеет период .

Функции будем называть гармониками. Их можно представить также в виде

где ; .

Сумма гармоник , являясь периодической, уже не будет гармоникой. Можно поставить обратную задачу. Можно ли периодическую функцию представить в виде такой суммы?. Оказалось, что при определенных условиях, сформулированных в теореме Дирихле (см. ниже), периодическую функцию с периодом можно представить в виде суммы бесконечного числа гармоник, называемой тригонометрическим рядом.

. (24)

Если коэффициенты ряда (24) определяются по формулам

, (25)

то их называют коэффициентами Фурье, а сам ряд - рядом Фурье.

Говорят, что функция удовлетворяет условиям Дирихле, если она непрерывна на отрезке за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, а также кусочно-монотонна на этом отрезке.

ТЕОРЕМА 12. (Теорема Дирихле)

Если периодическая функция с периодом удовлетворяет на отрезке условиям Дирихле, то ряд Фурье этой функции сходится во всем отрезке и сумма этого ряда равна:

1) во всех точках непрерывности функции ;

2) полусумме пределов функции слева и справа, т.е., если является точкой разрыва первого рода, то.

Из теорем (11) и (12) следует, что класс функций представляемых в виде ряда Фурье шире класса функций, разлагаемых в ряд Тейлора, так как для последнего необходимо существование производных функций любого порядка.

В ряде практических задач электросвязи рассматриваются периодические функции с . Тогда и формулы 24-25 упрощаются

(26)

, (27)

Замечания:

1. Учитывая формулу (23), при нахождении коэффициентов Фурье целесообразно в качестве пределов интегрирования использовать границы области задания функции. Например, если - периодическая функция задана на отрезке , в формулах (27) следует интегрировать от нуля до .

2. Если функция - четная, то коэффициенты =0, а остальные коэффициенты можно найти по формулам

, . (28)

Если же функция - нечетная, то и , а

. (29)

Ряд Фурье можно представить в амплитудно - фазовой форме. Пусть

, ,

Тогда , , .

, (30)

где - амплитуда, а - начальная фаза гармоники.

Пример 31. Разложить в ряд Фурье функцию f(x), заданную на промежутке длиной, равной периоду

Изобразить диаграмму спектра амплитуд.

Решение.

Рис. 1. График функции

По формулам (25) находим коэффициенты ряда.

Если n - четное , . При нечетном n , .

Ряд Фурье имеет вид

Рис. 2. иллюстрирует представления функции , описывающей периодический сигнал прямоугольной формы, через сумму нескольких первых членов ряда. Видно, что с ростом частичные суммы все точнее представляют .

а)

б)

в)

Рис. 2. Графики суммы двух(а), трех (б) и пяти(в) членов ряда

График суммы ряда в точках непрерывности функции совпадает с графиком (рис. 1), а в точках разрыва (см. теорему Дирихле). Так как , то .

1 2 3 4 5 6

Рис.3. Спектр амплитуд

Пример 32. Разложить функцию f(x) в ряд Фурье по косинусам, продолжив в симметричный интервал. Нарисовать график суммы ряда S(x). Найти значения суммы