Взаимное расположение двух прямых в пространтве

Пусть две прямые p ₁ и p ₂ в пространстве заданы своими каноническими уравнениями:

,

.

Параллельность, перпендикулярность и угол между прямыми вполне определяется их направляющими векторами и .

Условие параллельности:

.

Условие перпендикулярности:

.

Угол φ между прямыми определяется по формуле:

.

Две прямые в пространстве могут: 1) пересекаться; 2) быть параллельными; 3) скрещиваться. В первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости. Наряду с направляющими векторами прямых и , рассмотрим вектор , где . Прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны, что, в свою очередь, равносильно равенству нулю их смешанного произведения. Выразив смешанное произведение через проекции векторов, получим условие принадлежности прямых p ₁ и p ₂ одной плоскости:

.