III Параметрические уравнения прямой

Пусть даны канонические уравнения какой-либо прямой. Обозначим буквой t каждое из трех равных отношений, которые участвуют в канонических уравнениях:

.

Отсюда:

И окончательно

(5)

Это и есть параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) в направлении вектора . Эти уравнения удобно применять в тех случаях, когда требуется найти точку пересечения прямой и плоскости.

Пример. Найти проекцию данной точки M ₀(5, 2,–1) на плоскость α: 2 x–y+ 3 z+ 23=0.

Решение. Проведем через M ₀ прямую ; ее направляющим вектором служит нормальный вектор плоскости Имеем параметрические уравнения (5)

Проекция точки M ₀ на плоскость α – это точка пересечения прямой p с плоскостью α, ее координаты – это решение системы, составленной из уравнения плоскости и уравнений прямой. Подставим параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости:

2(5+2 t) – (2 –t)+3(–1+3 t) + 23=0.

Отсюда t= – 2 и координаты искомой точки имеют вид:

x= 5+2(–2)=1; y= 2 – (– 2)=4; z= – 1+3(–2)= –7.